相等向量是共线向量吗

文/心醉

两个概念不一样,长度相等且方向相同的向量叫做相等向量,方向相同或相反的非零向量叫平行向量(这个不管你长度会不会相等).表示为a∥b,任意一组平行向量都可移到同一直线上, 因此平行向量也叫共线向量。

共线向量基本定理

如果a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是:存在唯一实数λ,使得b=λa。

证明:

1)充分性:对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由实数与向量的积的定义知,向量a与b共线。

2)必要性:已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b=λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=λa。如果b=0,那么λ=0。

3)唯一性:如果 b=λa=μa,那么 (λ-μ)a=0。但因a≠0,所以 λ=μ。

证毕。

推论

两个向量a、b共线的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0。

证明:

1)充分性,不妨设μ≠0,则由 λa+μb=0 得 -b=(λ/μ)a。由 共线向量基本定理 知,向量a与b共线。

2)必要性,已知向量a与b共线,若a≠0,则由共线向量基本定理知,b=λa,所以 λa-b=0,取 μ=-1≠0,故有 λa+μb=0,实数λ、μ不全为零。若a=0,则取μ=0,取λ为任意一个不为零的实数,即有 λa+μb=0。

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