一、竖直上抛运动的定义及公式
1、定义：将物体以一定的初速度沿竖直向上的方向抛出，物体仅在重力作用下的运动，就做竖直上抛运动。
2、运动性质：加速度为$g$的匀变速直线运动。
3、运动的特征：竖直上抛运动可分为“上升阶段”和“下落阶段”。前一阶段是匀减速直线运动，后一阶段则是初速度为零的匀加速直线运动(自由落体运动)，具备的特点主要有：
(1) 时间对称——“上升阶段”和“下落阶段”通过同一段大小相等、方向相反的位移所经历的时间相等。
(2) 速度对称——“上升阶段”和“下降阶段”通过同一位置时的速度大小相等、方向相反。
(3) 位移对称——“上升阶段”和“下降阶段”经过同一位置的位移大小相等，方向相同。
4、竖直上抛运动公式
| 条件 | 初速度$v_0 \not= 0$且竖直向上 |
| 受力：只受重力作用 | |
| 实质 | $a=g$的匀减速直线运动 |
| 基本规律 | 规律$v_0 > 0$，则$a=-g$ |
| 速度公式：$v_t=v_0-gt$ | |
| 位移公式：$h=v_0t- \frac{1}{2}gt^2$ | |
| 速度与位移关系：$v^2_t - v^2_0 = -2gh$ | |
| 两个推论 | ①上升、下落的时间$t_上=t_下=\frac{v_0}{g}$ |
| ②上升的最大高度$H=\frac{v^2_0}{2g}$ | |
| 处理方法 | 分段法、整体法、对称法 |
5、竖直上抛运动的规律分析
一般以竖直向上为正方向，则$a=-g$，以抛出时刻为$t=0$时刻，以抛出点为位移的零点，故有：
(1) 速度——时间关系：$v=v_0-gt$
当$t>\frac{v_0}{g}$时，$v<0$，表示物体正在向下运动。
当$t=\frac{v_0}{g}$时，$v=0$，表示物体正在最高点。
当$t<\frac{v_0}{g}$时，$v>0$，表示物体正在向上运动。
(2) 位移——时间关系：$h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$
当$t>\frac{2v_0}{g}$时，$v<0$，表示物体在抛出点下方。
当$t=\frac{2v_0}{g}$时，$v=0$，表示物体回到抛出点。
当$t<\frac{2v_0}{g}$时，$v>0$，表示物体在抛出点上方。
(3) 速度——位移关系：$v^2=v_0^2 - 2gh$
二、竖直上抛运动相关例题
在离地高$h$处，沿竖直方向同时向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为$v$，不计空气阻力，两球落地的时间差为___
A. $\frac{2v}{g}$ B. $\frac{v}{g}$ C. $\frac{2h}{v}$ D. $\frac{h}{v}$
答案：A
解析：以竖直向下为正方向，对向上和向下抛出的两个小球分别有：$h=-vt_1+\frac{1}{2}gt^2_1$，$h=vt_2+\frac{1}{2}gt^2_2$。$\Delta t=t_1-t_2$，解以上三式得两球落地的时间差$\Delta t= \frac{2v}{g}$，故选A。
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