面面垂直,一面内有一直线垂直于这两面交线,得到线面垂直。已知α⊥β,α∩β=l,O∈l,OP⊥l,OP⊂α。求OP⊥β。过O在β内作OQ⊥l,由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。因为α⊥β所以∠POQ=90°,即OP⊥OQ,因为OP⊥l,l∩OQ=O,l⊂β,OQ⊂β,所以OP⊥β。
如果两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
直线与平面垂直定义:如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直,就说这条直线与此平面互相垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法。
在处理实际问题过程中,可以先从题设条件入手,分析已有的垂直关系,再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系,从而架起已知与未知的“桥梁”。
性质定理1:如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线。
性质定理2:经过空间内一点,有且只有一条直线垂直已知平面。
性质定理3:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。
性质定理4:垂直于同一平面的两条直线平行。
推论:空间内如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线平行。(该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上,在空间几何上也成立。)
由性质定理2可知,过空间内一点(无论是否在已知平面上),有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。