切线的性质与判定

文/周宝侠

切线和圆只有一个公共点;切线和圆心的距离等于圆的半径;切线垂直于经过切点的半径;经过圆心垂直于切线的直线必过切点;经过切点垂直于切线的直线必过圆心;从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线的性质与判定

1.主要性质

(1)切线和圆只有一个公共点;

(2)切线和圆心的距离等于圆的半径;

(3)切线垂直于经过切点的半径;

(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点;

(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心;

(6)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

其中(1)是由切线的定义得到的,(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的,(6)是由相似三角形推得的,也就是切割线定理。

2.判定

切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。

几何语言:∵l⊥OA,点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理)

切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点半径。

几何语言:∵OA是⊙O的半径,直线l切⊙O于点A

∴l ⊥OA(切线性质定理)

推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点,

推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

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