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空间共面向量定理和推论

2021-02-24

文/人才

一、空间共面向量定理和推论

1、共线向量定理

（1）定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b(\boldsymbol b$≠0)，$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$λ$，使$\boldsymbol a=λ\boldsymbol b$。

（2）推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{OP}=$$\overrightarrow{OA}+$$t\boldsymbol a$ ①。其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。

在$l$上取$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{OP}=$$\overrightarrow{OA}+$$t\overrightarrow{AB}$或$\overrightarrow{OP}=$$(1-t)\overrightarrow{OA}+$$t\overrightarrow{OB}$②。

当$t$=$\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OP}=$$\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ ③。

①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。

2、共面向量定理

（1）定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对$(x,y)$，使$\boldsymbol p=$$x\boldsymbol a+$$y\boldsymbol b$。

（2）推论1：空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数对$(x,y)$，使$\overrightarrow{MP}=$$x\overrightarrow{MA}+$$y\overrightarrow{MB}$（或对空间一点$O$，有$\overrightarrow{OP}=$$\overrightarrow{OM}+$$x\overrightarrow{MA}+$$y\overrightarrow{MB}$）。

（3）推论2：空间一点$P$位于平面$MAB$内的充要条件是存在有序实数组${x,y,z}$，对空间任一点$O$，有$\overrightarrow{OP}=$$x\overrightarrow{OA}+$$y\overrightarrow{OB}+$$z\overrightarrow{OM}$，其中$x+y+z=1$。

3、空间向量基本定理

（1）定理：如果三个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$不共面，那么对空间任一向量$\boldsymbol p$，存在有序实数组${x,y,z}$，使得$\boldsymbol p=$$x\boldsymbol a+$$y\boldsymbol b+$$\boldsymbol zc$。

其中${a,b,c}$叫做空间的一个基底，$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，$\boldsymbol c$都叫做基向量。

（2）推论：设$O$，$A$，$B$，$C$，是不共面的四点，则对空间任一点$P$，都存在唯一的有序实数组${x,y,z}$，使得$\overrightarrow{OP}=$$x\overrightarrow{OA}+$$y\overrightarrow{OB}+$$z\overrightarrow{OC}$。

二、空间共面向量定理的相关例题

若$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$是空间不共面的三个向量，则与向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$和向量$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$构成不共面的向量是___

A．$\overrightarrow{BA}$ B．$\overrightarrow{OA}$ C．$\overrightarrow{OB}$ D．$\overrightarrow{OC}$

答案：D

解析：由题意可知向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$和向量$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$是平面$AOB$内的向量，而$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{BA}$都在平面$AOB$内，显然是共面向量，只有$\overrightarrow{OC}$与向量$\overrightarrow{OA}+$$\overrightarrow{OB}$和向量$\overrightarrow{OA}-$$\overrightarrow{OB}$构成不共面的向量。故选D。