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正弦定理的定义和常见变形

2021-02-28

文/旧巴黎

专题:正弦定理定义义和常见变形定理正弦

一、正弦定理的定义和常见变形

1、正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即$\frac{a}{\sin A}=$$\frac{b}{\sin B}=$$\frac{c}{\sin C}$。

2、正弦定理常见的变形

（1）$a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$；

（2）$\sin A=\frac{a}{2R}$，$\sin B=\frac{b}{2R}$，$\sin C=\frac{c}{2R}$；

（3）$\sin A∶\sin B∶\sin C=a∶b∶c$；

（4）$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{a}{b}$，$\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{b}{c}$，$\frac{\sin C}{\sin A}=\frac{c}{a}$；

（5）$\frac{a}{\sin A}=$$\frac{b}{\sin B}=$$\frac{c}{\sin C}=$$\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}$。

3、利用正弦定理可以解决的问题

（1）已知两角和任一边，求另一角和其他两条边。

（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角。

二、正弦定理的相关例题

以下关于正弦定理的叙述和变形错误的是___

A．在$△ABC$中，$a∶b∶c=\sin A∶\sin B∶\sin C$

B．在$△ABC$中，$\sin 2A=\sin 2B$，则$a=b$

C．在$△ABC$中，$\sin A>\sin B\Leftrightarrow a>b$

D．在$△ABC$中，$\frac{a}{\sin A}=$$\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}$

答案：B

解析：对于A，在$△ABC$中，由正弦定理可得$a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$，故有$a∶b∶c=\sin A∶\sin B∶\sin C$，故A成立；对于B，若$\sin 2A=\sin 2B$，等价于$2A=2B$，或$2A+2B=π$，可得：$A=B$，或$A+B=\frac{π}{2}$，故B不成立；对于C，∵若$\sin A>\sin B$，由正弦定理可知，$\frac{a}{2R}>\frac{b}{2R}$，∴$a>b$，故C正确；对于D，由$\frac{a}{\sin A}=$$\frac{b}{\sin B}=$$\frac{c}{\sin C}$，再根据比例式的性质可得D成立。故选B。