一、数列的递推公式
如果已知数列$\{a_n\}$的第一项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
注：（1）并不是所有数列都有递推公式。
（2）递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号$n$的恒等式，即用符合要求的正整数依次去替换$n$，就可以求出数列的各项。
（3）用递推公式给出一个数列，则必须给出：
①基础——数列$\{a_n\}$的第一项（或前几项）。
②递推关系——数列$\{a_n\}$的任意一项$a_n$与它的前一项$a_{n-1}$（$n\geqslant 2$）（或前几项）间的关系，并且这个关系可以用等式来表示。
二、数列的递推公式的相关例题
已知数列$\{a_n\}$满足递推关系$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，$a_1=\frac{1}{2}$，则$a_{2017}=$____
A．$\frac{1}{2016}$ B．$\frac{1}{2018}$
C．$\frac{1}{2017}$ D．$\frac{1}{2019}$
答案：B
解析：由$a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$，所以$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+1}{a_n}=\frac{1}{a_n}+1$。
则$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=1$，又$a_1=\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{a_1}=2$，
所以数列$\begin{Bmatrix}\dfrac{1}{a_n}\end{Bmatrix}$是以2为首项，1为公差的等差数列。
所以$\frac{1}{a_n}=n+1$，则$a_n=\frac{1}{n+1}$，
所以$a_{2017}=\frac{1}{2018}$。
故选B。
小编推荐
下载文档