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平面向量基本定理和向量共线定理

2021-02-28

文/南瓜

一、平面向量基本定理和向量共线定理

1、向量共线定理

向量$\boldsymbol a(\boldsymbol a≠0)$与$\boldsymbol b$共线，当且仅当有唯一一个实数$λ$，使$\boldsymbol b=λ\boldsymbol a$。

注：（1）定理中$\boldsymbol a(\boldsymbol a≠0)$不能漏掉。若$\boldsymbol a=\boldsymbol b=\boldsymbol 0$，则实数$λ$可以是任意实数；若$\boldsymbol a=\boldsymbol 0$，$\boldsymbol b≠\boldsymbol 0$，则不存在实数$λ$，使得$\boldsymbol b=λ\boldsymbol a$。

（2）对任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，若存在不全为0的实数对（$λ$，$μ$），使$λ\boldsymbol a+μ\boldsymbol b=0$，则$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$共线。

（3）向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线等问题。

2、平面向量基本定理

如果$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量$\boldsymbol a$，有且只有一对实数$λ_1$，$λ_2$，使$\boldsymbol a=λ_1\boldsymbol e_1+λ_2\boldsymbol e_2$。把不共线的向量$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

定理的推广：平面内任意三个不共线（两两不共线）的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一。

注：（1）由于零向量与任何向量都共线，所以零向量不能作为基底。

（2）如果对于一组基底$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$，有$\boldsymbol a=$$λ_1\boldsymbol e_1+$$λ_2\boldsymbol e_2=$$μ_1\boldsymbol e_1+$$μ_2\boldsymbol e_2$，则可以得到$λ_1=μ_1$，且$λ_2=μ_2$。

二、平面向量基本定理的相关例题

在平行四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别为边$AD$，$CD$的中点，$AF$与$BE$相交于点$M$，则$\overrightarrow{AM}=$___

A．$\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AE}$ B．$\frac{4}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AE}$ C．$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$ D．$\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{5}\overrightarrow{AE}$

答案：D

解析：设$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{EM}=s\overrightarrow{EB}$，则$\overrightarrow{AM}=$$t\overrightarrow{AF}=$$t\left(\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)=$$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EM}$，所以$t\left(\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\right)=$$\overrightarrow{AE}+s\overrightarrow{EB}=$$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+$$s(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE})$，整理得$t\overrightarrow{AD}+$$\frac{t}{2}\overrightarrow{AB}=$$\left(\frac{1}{2}-\frac{s}{2}\right)\overrightarrow{AD}+$$s\overrightarrow{AB}$，因为$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$不共线，所以$\begin{cases}t=\frac{1}{2}-\frac{s}{2},\\frac{t}{2}=s,\end{cases}$得$s=\frac{1}{5}$，所以$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AE}=$$\overrightarrow{EM}=$$\frac{1}{5}\overrightarrow{EB}=$$\frac{1}{5}(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE})$，即$\overrightarrow{AM}=$$\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+$$\frac{4}{5}\overrightarrow{AE}$，故选D。