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平面向量共线定理和基本定理

2021-02-28

文/心已盲

一、平面向量共线定理和基本定理

1、向量共线定理

向量$\boldsymbol a(\boldsymbol a≠0)$与$\boldsymbol b$共线，当且仅当有唯一一个实数$λ$，使$\boldsymbol b=λ\boldsymbol a$。

注：（1）定理中$\boldsymbol a(\boldsymbol a≠0)$不能漏掉。若$\boldsymbol a=\boldsymbol b=\boldsymbol 0$，则实数$λ$可以是任意实数；若$\boldsymbol a=\boldsymbol 0$，$\boldsymbol b≠\boldsymbol 0$，则不存在实数$λ$，使得$\boldsymbol b=λ\boldsymbol a$。

（2）对任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$，若存在不全为0的实数对（$λ$，$μ$），使$λ\boldsymbol a+μ\boldsymbol b=0$，则$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$共线。

（3）向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线等问题。

2、平面向量基本定理

如果$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量$\boldsymbol a$，有且只有一对实数$λ_1$，$λ_2$，使$\boldsymbol a=λ_1\boldsymbol e_1+λ_2\boldsymbol e_2$。把不共线的向量$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

定理的推广：平面内任意三个不共线（两两不共线）的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一。

注：（1）由于零向量与任何向量都共线，所以零向量不能作为基底。

（2）如果对于一组基底$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$，有$\boldsymbol a=$$λ_1\boldsymbol e_1+$$λ_2\boldsymbol e_2=$$μ_1\boldsymbol e_1+$$μ_2\boldsymbol e_2$，则可以得到$λ_1=μ_1$，且$λ_2=μ_2$。

二、平面向量共线定理的相关例题

设$\boldsymbol e_1$，$\boldsymbol e_2$是两个不共线的向量，若向量$m=-\boldsymbol e_1+k\boldsymbol e_2(k∈\mathbf{R})$与向量$\boldsymbol n=\boldsymbol e_2-2\boldsymbol e_1$共线，则有___

A．$k=0$ B．$k=1$

C．$k=2$ D．$k=\frac{1}{2}$

答案：D

解析：因为向量$\boldsymbol m=-\boldsymbol e_1+k\boldsymbol e_2(k∈\mathbf{R})$与向量$\boldsymbol n=\boldsymbol e_2-2\boldsymbol e_1$共线，所以存在实数$λ$，使得$\boldsymbol m=λ\boldsymbol n$，所以有$-\boldsymbol e_1+k\boldsymbol e_2=$$λ(\boldsymbol e_2-2\boldsymbol e_1)$，因此$\begin{cases}k=λ,\\-1=-2λ,\end{cases}$解得$k=\frac{1}{2}$，故选D。