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定积分的概念和基本思想

2021-02-28

文/狠疯拽

一、定积分的概念和基本思想

1、定积分的概念

一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_1<$$\cdots<$$x_{i-1}<x_i<$$\cdots<$$x_n=b$将区间$[a,b]$等分成$n$个小区间，在每个小区间$[x_{i-1},x_i]$上任取一点$ξ_i(i=1,2,\cdots,n)$，作和式$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}f(ξ_i)Δx=$$\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{b-a}{n}f(ξ_i)$，当$n→∞$时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x$，即$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x=$$\underset{n→∞}{\lim}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum}}\frac{b-a}{n}f(ξ_i)$，这里，$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量，$f(x){\rm d}x$叫做被积式。

（1）定积分$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x$不是一个函数式，而是一个数值（极限值），它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x=$$\int_{a}^{b}f(t){\rm d}t=$$\int_{a}^{b}f(u){\rm d}u$。

（2）定义中区间的分法和$ξ_i$的取法是任意的。

2、定积分的基本思想

定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的面积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。

即：分割$→$近似代替$→$求和$→$取极限。

3、定积分的性质

（1）$\int_{a}^{b}1{\rm d}x=b-a$；

（2）$\int_{a}^{b}kf(x){\rm d}x=$$k\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x$（其中$k$是不为0的常数）；

（3）$\int_{a}^{b}[f_1(x)±f_2(x)]{\rm d}x=$$\int_{a}^{b}f_1(x){\rm d}x±$$\int_{a}^{b}f_2(x){\rm d}x$；

（4）$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x=$$\int_{a}^{c}f(x){\rm d}x+$$\int_{c}^{b}f(x){\rm d}x$（其中$a<c<b$）。

求分段函数的定积分，可以先确定不同区间上的函数的解析式，然后根据定积分的性质4进行计算。

4、定积分的几何意义

如果在区间$[a,b]$上函数$f(x)$连续且恒有$f(x)\geqslant0$，那么定积分$\int_{a}^{b}f(x){\rm d}x$表示由直线$x=a$，$x=b$，$y$=0和曲线$y=f(x)$所围成的曲边梯形的面积。

注：定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0。

（1）当对应的曲边梯形位于$x$轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积。

（2）当对应的曲边梯形位于$x$轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数。

（3）当位于$x$轴上方的曲边梯形的面积等于位于$x$轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为0，且等于位于$x$轴上方的曲边梯形的面积减去位于$x$轴下方的曲边梯形的面积。

5、定积分的物理意义

（1）变速直线运动

如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是$v=v(t)(v(t)\geqslant0)$，那么物体从时刻$t=a$到$t=b$所经过的路程$s=$$\int_{a}^{b}v(t){\rm d}x$；

如果做变速直线运动的物体的速度$v$关于时间$t$的函数是$v=v(t)(v(t)\leqslant0)$，那么物体从时刻$t=a$到$t=b$所经过的路程$s=$$-\int_{a}^{b}v(t){\rm d}x$；

（2）变力做功

物体在变力$F(x)$的作用下做直线运动，并且物体沿着与力$F(x)$相同的方向从$x=a$移动到$x=b(a<b)$，则变力$F(x)$所做的功$W=$$\int_{a}^{b}F(x){\rm d}x$。

二、定积分的概念的相关例题

设$f(x)=\begin{cases}\sqrt{1-x^2},x∈[-1,1),\\x^2-1,x∈[1,2],\end{cases}$则$\int_{-1}^{2}f(x){\rm d}x$的值为___

A．$\frac{π}{2}+\frac{4}{3}$ B．$\frac{π}{2}+3$

C．$\frac{π}{4}+\frac{4}{3}$ D．$\frac{π}{4}+3$

答案：A

解析：根据定积分性质可得$\int_{-1}^{2}f(x){\rm d}x=$$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}{\rm d}x+$$\int_{1}^{2}({x^2-1)\rm d}x$，根据定积分的几何意义可知，$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}{\rm d}x$是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的一半，∴$\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}{\rm d}x=\frac{π}{2}$，∴$\int_{-1}^{2}f(x){\rm d}x=$$\frac{π}{2}+\left(\frac{1}{3}x^3-x\right)\Big|^2_1=$$\frac{π}{2}+\frac{4}{3}$，故选A。