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等比数列的前n项和公式和与函数的关系

2021-02-28

文/海中的鲨鱼

一、等比数列的前$n$项和公式和与函数的关系

1、等比数列的前$n$项和公式

若等比数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和公式为$S_n=\begin{cases}na_1,\quad\quad\quad\quad\quad\ q=1\\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q},q≠1。\end{cases}$

注：（1）当$q≠1$时，若已知$a_1$，$q$，$n$，则用$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$较方便；若已知$a_1$，$q$，$a_n$，则用$S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q}$较方便。

（2）等比数列前$n$项和公式可看作函数关系$S_n=kq^n-k$（$k$，$q$是不为0的常数，且$q$不为1，$n∈\mathbf{N}^*$），它是关于$n$的指数类型的函数。

（3）等比数列前$n$项和公式分$q=1$和$q≠1$两种情况，因此用公式求和时，若公比$q$不确定，则要对公比进行分类讨论。

2、等比数列的前$n$项和公式与函数的关系

（1）当公比$q≠$时，等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$可变形为$S_n=-\frac{a_1}{1-q}·q^n+$$\frac{a_1}{1-q}$。设$A=\frac{a_1}{1-q}$，上式可化简为$S_n=-Aq^n+A$。由此可见，数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$是一个关于$n$的指数型函数。

（2）当公比$q=1$时，因为$a_1≠0$，所以$S_n=na_1$是$n$的正比例函数。

注：①当$q≠1$时，$S_1$，$S_2$，$S_3$，$\cdots$，$S_n$是函数$y=-Aq^x+A$的图象上一群孤立的点的纵坐标；

当$q=1$时，$S_1$，$S_2$，$S_3$，$\cdots$，$S_n$是正比例函数$y=a_1x$图象上一群孤立的点的纵坐标。

②当等比数列的公比不是一个常数，而是一个字母或一个代数式时，要讨论公比是否为1。

3、等比数列前$n$项和的性质

（1）若$\{a_n\}$为等比数列，$S_n$为其前$n$项和，当$q≠-1$时，$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$，$\cdots$，仍构成等比数列，即有$(S_{2n}-S_n)^2=$$S_n·(S_{3n}-S_{2n})$，公比为$q^n$；当$q=-1$且$k$为奇数时$S_k$，$S_{2k}-S_k$，$S_{3k}-S_{2k}$，$\cdots$，可构成等比数列。

（2）在等比数列中，若项数为$2n(n∈\mathbf{N}^*)$，$S_偶$与$S_奇$分别为偶数项与奇数项的和，则$\frac{S_偶}{S_奇}=q$；若项数为$2n+1$，则$\frac{S_奇-a_1}{S_偶}=q$。

（3）在等比数列$\{a_n\}$中，当$q=1$时，$\frac{S_n}{S_m}=\frac{n}{m}$；当$q≠1$时，$\frac{S_n}{S_m}=\frac{1-q^n}{1-q^m}$。

二、等比数列的前$n$项和的相关例题

数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_{m+n}=a_ma_n$。若$a_{k+1}+$$a_{k+2}+$$\cdots+$$a_{k+10}=$$2^{15}-2^5$，则$k=$____

A．2 B．3 C．4 D．5

解析：取$m=1$，则$a_{n+1}=a_1a_n$，又$a_1=2$，所以$

\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_1=2$，所以$\{a_n\}$是以2为首项，2为公

比的等比数列，则$a_n=2^n$，所以$a_{k+1}+$$a_{k+2}+$$\cdots+$$a_{k+10}=$$\frac{2^{k+1}(1-2^{10})}{1-2}=$$2^{k+11}-$$2^{k+1}=$$2^{15}-2^5$，解得$k=4$，故选C。