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错位相减法的应用和具体操作过程

2021-02-28

文/戒不掉

一、错位相减法的应用和具体操作过程

1、错位相减法

若数列$\{a_n\}$是等差数列，数列$\{b_n\}$是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为$\{a_nb_n\}$，求数列$\{a_nb_n\}$的前$n$项和时，常常采用错位相减法求和。即将数列$\{a_nb_n\}$的各项乘以公比$q$，并项后错位一项与$\{a_nb_n\}$的同次项对应相减，从而将问题转化为特殊数列的求和问题。

2、错位相减法的具体操作过程如下：

设$\{a_n\}$的公差为$d$，$\{b_n\}$的公比为$q(q≠1)$。

$S_n=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$，$qS_n=a_1b_2+a_2b_3+\cdots+a_{n-1}b_n+a_nb_{n+1}

$，

两式相减，得

$(1-q)S_n=a_1b_1+b_2d+\cdots+b_nd-a_nb_{n+1}=$$a_1b_1+d(b_2+b_3+\cdots+b_n)-a_nb_{n+1}

$，所以$S_n=\frac{a_1b_1+d(b_2+b_3+\cdots+b_n)-a_nb_{n+1}}{1-q}$。

需要注意的是$b_2+b_3+\cdots+b_n$是以$b_2$为首项，$q$为公比的等比数列的前$n-1$项和。

注：（1）识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形。

（2）在写出“$S_n$”与“$qS_n$”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“$S_n-qS_n$”的表达式。

（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解。

二、错位相减法的相关例题

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n=$$(2n-1)·3^n$。设$b_n=\frac{4n}{a_n}$，$S_n$为数列$\{b_n\}$的前$n$项和。若$S_n<λ$（常数），$n∈\mathbf{N}^*$，则$\lambda$的最小值是___

A．$\frac{3}{2}$ B．$\frac{9}{4}$ C．$\frac{31}{12}$ D．$\frac{31}{18}$

答案：C

解析：本题考查数列通项公式的求法和数列的前$n$项和。

$∵a_1+2a_2+3a_3+\cdots+na_n=$$(2n-1)·3^n$ ①，∴当$n\geqslant2$时，$a_1+2a_2+3a_3+\cdots+(n-1)a_{n-1}=$$(2n-3)·3^{n-1}$ ②，由①-②得$na_n =4n·3^{n-1}$，即$a_n=4·3^{n-1}$。当$n=1$时，$a_1=3$，$∴a_n=\begin{cases}3,\quad\quad\ \ n=1,\\4·3^{n-1},n\geqslant2,\end{cases}$$b_n=\begin{cases}\frac{4}{3},\quad n=1,\\\frac{n}{3^{n-1}},n\geqslant2,\end{cases}$

$S_n=\frac{4}{3}+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\cdots+\frac{n}{3^{n-1}}=$$\frac{1}{3}+\frac{1}{3^0}+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\cdots+\frac{n}{3^{n-1}}$ ③，$\frac{1}{3}S_n=\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\cdots+\frac{n-1}{3^{n-1}}+\frac{n}{3^n}$ ④，③-④得

$\frac{2}{3}S_n=\frac{2}{9}+\frac{1}{3^0}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\cdots+\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n}=$$\frac{2}{9}+\frac{1-\frac{1}{3^n}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{n}{3^n}$，∴$S_n=\frac{31}{12}-\frac{6n+9}{4·3^n}<\frac{31}{12}$，

∴$λ$的最小值是$\frac{31}{12}$，故选C。