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直线的参数方程的概念以及和普通方程的互化

2021-02-28

文/张大少

一、直线的参数方程的概念以及和普通方程的互化

1、参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标$x$，$y$都是某个变数$t$的函数$\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t),\end{cases}$并且对于$t$的每一个允许值，由该方程组所确定的点$M(x,y)$都在这条曲线上，那么该方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数$x$，$y$的变数$t$叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

参数是联系变数$x$，$y$的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

2、参数方程和普通方程的互化

曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式。一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程。如果知道变数$x$，$y$中的一个与参数$t$的关系，例如$x=f(t)$，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系$y=g(t)$，那么$\begin{cases}x=f(t),\\y=g(t),\end{cases}$就是曲线的参数方程。

将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使$x$，$y$的取值范围保持一致。

3、直线的参数方程

（1）经过点$M_0(x_0,y_0)$，倾斜角为$α$的直线$l$的参数方程为$\begin{cases}x=x_0+t\cosα,\\y=y_0+t\sinα。\end{cases}$

$M(x,y)$是直线$l$上与参数值$t$对应的点。

（2）直线参数方程中参数$t$的几何意义：参数$t$的绝对值为直线$l$上的动点$M$到定点$M_0$的距离。

二、直线的参数方程的相关例题

参数方程$\begin{cases}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t,\\y=-2+\frac{1}{2}t\end{cases}$（$t$是参数）与参数方程$\begin{cases}x=5+\sqrt{3}t,\\y=-2+t\end{cases}$（$t$是参数）表示的曲线是___

A．两条相交直线

B．两条平行直线

C．同一条直线

D．抛物线

答案：C

解析：参数方程$\begin{cases}x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t,\\y=-2+\frac{1}{2}t\end{cases}$（$t$是参数）消去参数得$x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}-5=0$，

参数方程$\begin{cases}x=5+\sqrt{3}t,\\y=-2+t\end{cases}$（$t$是参数）消去参数得$x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}-5=0$ ，

∴这两个参数方程表示同一条直线。