空集的概念和子集的概念

文/周宝侠

一、空集的概念和子集的概念

1、子集:一般地,对于两个集合$A$,$B$,如果集合$A$中任意一个元素都是集合$B$中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合$A$为集合$B$的子集,记作$A\subseteq B$(或$B\supseteq A$),读作“$A$含于$B$”(或“$B$包含$A$”)。

2、真子集:如果集合$A\subseteq B$,但存在元素,$x∈B$,且$x\notin A$,我们称集合$A$是集合$B$的真子集,记作$A\subsetneqq B$(或$B\supsetneqq, A$)。

3、空集:不含任何元素的集合叫空集,记为$\varnothing$。空集是任何集合的子集,任何一个集合是它本身的子集,空集是任何非空集合的真子集。

4、集合相等:如果集合$A$是集合$B$的子集($A\subseteq B$),且集合$B$是集合$A$的子集($B\subseteq A$),此时,集合$A$与集合$B$中的元素是一样的,因此,集合$A$与集合$B$相等,记作$A=B$。

5、集合子集的个数

(1)若集合$A$中有$n$个元素,则集合$A$有$2^n$个子集,$2^n-1$个真子集,$2^n-1$个非空子集,$2^n-2$个非空真子集。

(2)若集合$A$含有$n(n≥1)$个元素,集合$C$含有$m(m≥1)$个元素$(m≥n)$,且$A\subseteq B\subseteq C$,则符合条件的集合$B$有$2^{m-n}$个。

二、空集的相关例题

若不等式组$\begin{cases}x-1>a^2\\x-4<2a\end{cases}$的解集非空,则实数$a$的取值范围是___

A.$(-1,3)$

B.$(-∞,-1)∪(3, +∞)$

C.$(-3,1) $

D.$(-∞,-3)∪(1+∞)$

答案:A

解析:由题意$\begin{cases}x>a^2+1,\\x<2a+4,\end{cases}$$∴a^2+1<2a+4$,即$a^2-2a-3<0$,解得$-1<a<3$。故选A。

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