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集合的相等关系和真子集的定义

2021-02-28

文/歹匕亼

一、集合的相等关系和真子集的定义

1、子集：一般地，对于两个集合$A$，$B$，如果集合$A$中任意一个元素都是集合$B$中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合$A$为集合$B$的子集，记作$A\subseteq B$（或$B\supseteq A$），读作“$A$含于$B$”（或“$B$包含$A$”）。

2、真子集：如果集合$A\subseteq B$，但存在元素$x∈B$，且$x\notin A$，称集合$A$是集合$B$的真子集，记作$A\subsetneqq B$（或$B\supsetneqq A$）。

3、空集：不含任何元素的集合叫空集，记为$\varnothing$。空集是任何集合的子集，任何一个集合是它本身的子集，空集是任何非空集合的真子集。

4、集合相等：如果集合$A$是集合$B$的子集（$A\subseteq B$），且集合$B$是集合$A$的子集$（B\subseteq A）$，此时，集合$A$与集合$B$中的元素是一样的，因此，集合$A$与集合$B$相等，记作$A=B$。

5、集合子集的个数

（1）若集合$A$中有$n$个元素，则集合$A$有$2^n$个子集，$2^n-1$个真子集，$2^n-1$个非空子集，$2^n-2$个非空真子集。

（2）若集合$A$含有$n(n≥1)$个元素，集合$C$含有$m（m≥1）$个元素$（m≥n）$，且$A\subseteq B\subseteq C$，则符合条件的集合$B$有$2^{m-n}$个。

二、集合的相等关系的相关例题

若$\begin{Bmatrix} 1,a,\dfrac{b}{a} \end{Bmatrix}$和${0,a^2,a+b}$是相等的，则$a^{2017}+b^{2017}$的值为___

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．-1 Ｄ．1或-1

答案：C

解析：$∵\begin{Bmatrix} 1,a,\dfrac{b}{a} \end{Bmatrix}$和${0,a^2,a+b}$是相等的，$∴\frac{b}{a}=0$，$∴b=0$，$a+b=a$，$a^2=1$，解得$a=-1$或1，根据集合元素的互异性得到$a=-1$，$∴b=0$，$a=-1$，$∴a^{2017}+b^{2017}=(-1)^{2017}+0^{2017}=-1。$