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充要条件的定义和判定方法

2021-02-28

文/神峰

一、充要条件的定义和判定方法

1、定义

（1）充分不必要条件：一般地，如果有$p\Rightarrow q$且$q\nRightarrow p$，此时，我们说$p$是$q$的充分不必要条件。

（2）必要不充分条件：一般地，如果有$p\nRightarrow q$且$q\Rightarrow p$，此时，我们说$p$是$q$的必要不充分条件

（3）充要条件：一般地，如果既有$p\Rightarrow q$，又有$q\Rightarrow p$，就记作$p\Leftrightarrow q$。此时，我们说$p$是$q$的充分必要条件，简称充要条件。显然，如果$p$是$q$的充要条件，那么$q$也是$p$的充要条件。概括地说，如果$p\Leftrightarrow q$，那么$p$与$q$互为充要条件。

2、充分条件与必要条件的传递性

（1）若$p$是$q$的充分条件，$q$是$s$的充分条件，即$p\Rightarrow q$，$q\Rightarrow s$，则有$p\Rightarrow s$，即$p$是$s$的充分条件。

（2）若$p$是$q$的必要条件，$q$是$s$的必要条件，即$q\Rightarrow p$，$s\Rightarrow q$，则有$s\Rightarrow p$，即$p$是$s$的必要条件。

（3）若$p$是$q$的充要条件，$q$是$s$的充要条件，即$p\Leftrightarrow q$，$q\Leftrightarrow s$，即$p$是$s$的充要条件。

3、充分、必要条件的判定方法

（1）定义法

① 认清$p$与$q$；

② 找推式：判断是否有$“p\Rightarrow q”“q\Rightarrow p”$；

③ 根据推式找出结论。

（2）集合法

写出集合$A={x|p(x)}$及$B={x|q(x)}$，利用集合间的包含关系进行判断。

（3）用命题的等价性判断

利用$p\Rightarrow q$与$\lnot q\Rightarrow \lnot p$，$q \Rightarrow p$与$\lnot p\Rightarrow \lnot q$，$p \Leftrightarrow q$与$\lnot p\Leftrightarrow \lnot q$的等价关系判断，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法。

（4）利用传递性判断

对于较复杂（如链式）关系，常利用$\Rightarrow$，$ \Leftarrow$，$\Leftrightarrow$，$\nRightarrow$等符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论。

二、充要条件的相关例题

设点$A，B，C$不共线，则“$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为锐角”是$“|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|>|\overrightarrow{BC}|”$的___

Ａ．充分而不必要条件

Ｂ．必要而不充分条件

Ｃ．充分必要条件

Ｄ．既不充分也不必要条件

答案：C

解析：设向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$θ$，则不等式$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|>|\overrightarrow{BC}|$，等价于$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|>|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}|$，等价于$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|^2>|\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}|^2$，等价于$4\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}>0$，即$4|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|·\cosθ>0$，等价于$\cosθ>0$，由点$A$，$B$，$C$不共线，知$\cosθ>0$等价于$θ∈\left(0，\frac{π}{2} \right)$，所以“$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为锐角”是“$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|>|\overrightarrow{BC}|$”成立的充分必要条件，故选C。