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平面向量数量积的几何意义和定义

2021-02-28

文/旧巴黎

一、平面向量数量积的几何意义和定义

1、平面向量的数量积

已知两个非零向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$，我们把数量$|\boldsymbol a||\boldsymbol b|·\cos θ$叫做$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的数量积（或内积），记作$\boldsymbol a·\boldsymbol b$，即$\boldsymbol a·\boldsymbol b$=$|\boldsymbol a||\boldsymbol b|·\cos θ$，其中$θ$是$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角。

两个向量夹角的取值范围是$\left \lfloor0°，180°\right \rfloor$，零向量与任一向量的数量积为0。

2、数量积的几何意义

数量积$\boldsymbol a·\boldsymbol b$等于$\boldsymbol a$的长度$|\boldsymbol a|$与$\boldsymbol b$在$\boldsymbol a$的方向上的投影$|\boldsymbol b|\cos θ$的乘积。

注：①投影和两个向量的数量积都是数量，不是向量。当$θ$为锐角时投影为正值；当$θ$为钝角时投影为负值；当$θ$为直角时投影为0；当$θ=0°$时投影为$\boldsymbol b$；当$θ=180°$时投影为$-|\boldsymbol b|$。

②$\boldsymbol b$在$\boldsymbol a$方向上的投影可以记为$|\boldsymbol b|\cos θ$，也可记为$\frac{\boldsymbol a·\boldsymbol b}{|\boldsymbol a|}$。

二、平面向量数量积的几何意义的相关例题

已知非零向量$\boldsymbol a，\boldsymbol b$满足$|\boldsymbol a|=2|\boldsymbol b|$，且$(\boldsymbol a-\boldsymbol b)⊥\boldsymbol b$，则$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角为____

A．$\frac{π}{6}$

B．$\frac{π}{3}$

C．$\frac{2π}{3}$

D．$\frac{5π}{6}$

答案：B

解析：由$(\boldsymbol a-\boldsymbol b)⊥\boldsymbol b$，得$(\boldsymbol a-\boldsymbol b)·\boldsymbol b$=0，所以$\boldsymbol a·\boldsymbol b=\boldsymbol b^2$，所以$\cos \left \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\right \rangle=\frac{\boldsymbol a·\boldsymbol b}{|\boldsymbol a|·|\boldsymbol b|}=\frac{|b^2|}{2|\boldsymbol b|^2}=\frac{1}{2}$，所以$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的夹角为$\frac{π}{3}$，故选B。