组合的定义和性质

文/歹匕亼

一、组合的定义和性质

1、组合

一般地,从$n$个不同元素中取出$m$($m≤n$)个元素合成一组,叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合$。$

2、组合数与组合数公式

(1)组合数

从$n$个不同元素中取出$m$($m≤n$)个元素的所有不同组合的个数,叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数,用符号${\rm C}^m_n$表示。

(2)组合数公式

${\rm C}^m_n$=$\frac{{\rm A}^m_n}{{\rm A}^m_m}$=$\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!}$,$n,m∈\mathbf{N^*}$,并且$m≤n$。

组合数公式还可以写成:${\rm C}^m_n$=$\frac{n!}{m!(n-m)!}$,规定${\rm C}^0_n=1$。

(3)组合数的性质

性质1:${\rm C}^m_n={\rm C}^{n-m}_n$。

性质2:${\rm C}^m_{n+1}={\rm C}^m_n+{\rm C}^{m-1}_n$。

3、排列与组合的联系与区别

联系:排列与组合问题都是“从$n$个不同元素中取出$m$个元素”。

区别:组合问题与取出的元素顺序无关,而排列是把取出的元素再按顺序排列成一列,它与取出元素的顺序有关$。$

排列:不仅要取出元素,还要按照顺序排列$。$

组合:只取不排$。$

二、组合的相关例题

某校数学组办公室为了美化环境,购买了5盆月季花和4盆菊花,各盆大小均不一样,将其中4盆摆成一排,则至多有一盆菊花的摆法种数为___

A.960

B.1080

C.1560

D.3024

答案:B

解析:根据题意,分两种情况讨论:①选出的4盆花中没有菊花,有${\rm A}^4_5$=120种情况;②选出的4盆花中有1盆菊花,有${\rm C}^3_5×{\rm C}^1_4×{\rm A}^4_4$=960种情况,则一共有120+960=1 080种摆法,故选B。

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