排列的定义和性质

一、排列的定义和性质

1、排列

一般地，从$n$个不同元素中取出$m$（$m≤n$)）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个排列$。$

2、排列数与排列数公式

（1）排列数

从$n$个不同元素中取出$m$（$m≤n$)）个元素的所有不同排列的个数叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的排列数，用符号${\rm A}^m_n$表示。

（2）排列数公式

①排列数公式：${\rm A}^m_n=n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)$,$n,m∈\mathbf{N^*}$，并且$m≤n$。

②全排列：$n$个不同元素全部取出的一个排列，叫做$n$个元素的一个全排列，这时在排列数公式中$m$=$n$，既有${\rm A}^m_n$=$n×(n-1)×(n-2)×\cdots×3×2×1$。

（3）阶乘：正整数1到$n$的连乘积，叫做$n$的阶乘，用$n!$表示。

全排列公式${\rm A}^m_n=n!$，规定$0!=1$。

（4）排列数公式的阶乘表示：${\rm A}^m_n=\frac{n!}{(n-m)!}=\frac{{\rm A}^n_n}{{\rm A}^{n-m}_{n-m}}$。

（5）排列数的性质

性质1：${\rm A}^m_n=n{\rm A}^{m-1}_{n-1}$。

性质2：${\rm A}^m_n=m{\rm A}^{m-1}_{n-1}+{\rm A}^{m}_{n-1}$。

3、排列与组合的联系与区别

联系：排列与组合问题都是“从$n$个不同元素中取出$m$个元素”。

区别：组合问题与取出的元素顺序无关，而排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与取出元素的顺序有关$。$

排列：不仅要取出元素，还要按照顺序排列$。$

组合：只取不排$。$

二、排列的相关例题

将$A，B，C，D， E$排成一列，要求$A，C，E$在排列中的顺序为“$A，C，E$”或“$E，C， A$”(可以不相邻) ， 则这样的排列数有___

A．24种 B．40种 C．60种 D．80种

答案：B

解析：五个元素的全排列数为${\rm A}^5_5$， 由于要求$A ， C ， E$在排列中的顺序为“$A，C ， E$”或“$E ，C，A”$2种排法，所以满足条件的排法有$\frac{{\rm A}^5_5}{{\rm A}^2_3}×2=40$。故选B。

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