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柯西不等式的定理和应用技巧

2021-03-01

文/不想他

一、柯西不等式的定理和应用技巧

1、二维形式的柯西不等式

定理1：（二维形式的柯西不等式）若$a,b,c,d$都是实数，则$(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2$，当且仅当时，$ad=bc$时等号成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设$\boldsymbol \alpha,\boldsymbol \beta$是两个向量，则$|\boldsymbol \alpha·\boldsymbol \beta|≤|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|$，当且仅当$\boldsymbol \beta$是零向量，或存在实数$k$，使$\boldsymbol \alpha=k\boldsymbol \beta$时，等号成立。

定理3：（二维形式的三角不等式）设$x_1,y_1,x_2,y_2\in \mathbf{R}$，那么$\sqrt{x^2_1+y^2_1}+\sqrt{x^2_2+y^2_2}$$\geqslant$$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。

在定理3中，用$x_1-x_3$代$x_1$，用$y_1-y_3$代$y_1$，用$x_2-x_3$代$x_2$，用$y_2-y_3$代$y_2$可得平面三角不等式：$\sqrt{(x_1-x_3)^2+(y_1-y_3)^2}$+$\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}$≥$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。

2、一般形式的柯西不等式

定理：（一般形式的柯西不等式）设$a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n,b_1,b_2,b_3,\cdots,b_n$是实数，则$(a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_n)(b^2_1+b^2_2+\cdots+b^2_n)$≥$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$，当且仅当$b_i=0(i=1,2,\cdots,n)$或存在一个数$k$，使得$a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)$时，等号成立。

3、柯西不等式的应用技巧

柯西不等式的主要应用是证明不等式和求最值，利用柯西不等式证明不等式时，先使用拆项、重组、填项等方法技巧构造符合柯西不等式的应用条件，再处理；利用柯西不等式求最值时，一定要注意验证等号成立的条件。

构造符合柯西不等式的形式及条件，可以巧拆常数，可以重新安排各项的次序，可以填项，也可以改变式子的结构。

二、柯西不等式的相关例题

设$a,b,m,n∈\mathbf{R}$,且$a^2+b^2=5,ma+nb=5$，则$\sqrt{m^2+n^2}$的最小值为___

A．$\sqrt{5}$ B．$\sqrt{6}$ C．$\sqrt{3}$ D．2$\sqrt{2}$

答案：A

解析：因为$a^2+b^2=5,ma+nb=5$，所以由柯西不等式得$(a^2+b^2)(m^2 +n^2)≥( ma +nb)^2$，于是$5(m^2 +n^2)≥5^2$，故$\sqrt{m^2+n^2}≥\sqrt{5}$，当且仅当$\begin{cases}\frac{a}{m}=\frac{b}{n},\\a^2+b^2=5,\\ma+nb=5,\\m^2+n^2=5\end{cases}$$\Leftrightarrow a=m,n=b$时,等号成立，所以$\sqrt{m^2+n^2}$的最小值为$\sqrt{5}$。