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二项式定理和二项式系数的性质

2021-03-01

文/乡村

一、二项式定理和二项式系数的性质

1、二项式定理

对于任意正整数$n$，都有$(a+b)^n=\mathrm{C}^0_na^n+\mathrm{C}^1_na^{n-1}b+\cdots+\mathrm{C}^k_na^{n-k}b^k+\cdots+\mathrm{C}^n_nb^n$。这个式子叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做$(a+b)^n$的二项展开式，其中各项的系数$\mathrm{C}^k_n(k\in{0,1,2,\cdots,n })$叫做二项式系数。

2、二项展开式的通项

二项展开式的第$k+1$项$T_{k+1}=\mathrm{C}^k_na^{n-k}b^k(k\in{0,1,2,\cdots,n })$叫做二项展开式的通项。

注：（1）通项是二项展开式的第$k$+1项，而不是第$k$项。

（2）字母$b$的指数和组合数的上标相同，$a与b$的指数之和为$n$。

（3）展开式中第$k$+1项的二项式系数$\mathrm{C}^k_n$与第$k$+1项的系数不一定相等，只有在特殊情况下，它们的值才相等。

（4）求常数项、有理项和系数最大的项时，一般要根据通项公式对$k$进行讨论。

3、二项式系数的性质

（1）对称性

与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即$\mathrm{C}^m_n=\mathrm{C}^{n-m}_n(n=0,1,2,\cdots,n)$。

（2）增减性与最大值

增减性：当$k<\frac{n+1}{2}$时，$\mathrm{C}^k_n$是逐渐增大的；当$k>\frac{n+1}{2}$时，$\mathrm{C}^k_n$是逐渐减小的，且在中间取得最大值。

最大值：当$n$是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为$\mathrm{C}^{\frac{n}{2}}_n$；当$n$是奇数时，中间两项的二项式系数最大，最大值为$\mathrm{C}^{\frac{n-1}{2}}_n$，$\mathrm{C}^{\frac{n+1}{2}}_n$。

4、二项式系数和

$(a+b)^n$的展开式中，各个二项式系数和等于$2^n$，即$\mathrm{C}^0_n+\mathrm{C}^1_n+\mathrm{C}^2_n+\cdots+\mathrm{C}^n_n=2^n$。

二项展开式中，各偶数项的二项式系数和等于各奇数项的二项式系数和，即有$\mathrm{C}^1_n+\mathrm{C}^3_n+\mathrm{C}^5_n+\cdots=\mathrm{C}^0_n+\mathrm{C}^2_n+\mathrm{C}^4_n+\cdots$=$2^{n-1}$。

二、二项式定理的相关例题

$\left(x^2-\frac{\sqrt{3}}{x} \right)^6$的展开式中的常数项为___

A．60$\sqrt{3}$

B．6$\sqrt{3}$

C．135

D．45

答案：C

解析：$\left(x^2-\frac{\sqrt{3}}{x} \right)^6$的展开式中的常数项为$\mathrm{C}^4_6(-\sqrt{3})^4$=135，故选C。