一、指数函数的性质和底数对图象的影响
1、指数函数的性质
指数函数$y=a^x$
（1）当$0<a<1$时
①定义域为$\mathbf{R}$；
②值域为$（0,+∞）$；
③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；
在$\mathbf{R}$上是减函数；当$x>0$时，$0<y<1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$y>1$。
（2）当$a>1$时
①定义域为$\mathbf{R}$；
②值域为$（0,+∞）$；
③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；
在$\mathbf{R}$上是增函数；当$x>0$时，$y>1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$0<y<1$。
2、底数对图象的影响
（1）由指数函数$y=a^x$与直线$x=1$相交于点$(1，a)$可知：在$y$轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数$y=a^x$与直线$x=-1$相交于点$\left(-1，\frac{1}{a}\right)$可知：在$y$轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图象间的关系可概括的记忆为：在$y$轴右边“底大图高”；在$y$轴左边“底大图低”。
3、指数函数具有反函数，其反函数是对数函数。
二、指数函数的性质的相关例题
已知$a=2^\frac{4}{3},b=4^\frac{2}{5},c=25^\frac{1}{3}$，则___
A．$b<a<c$
B．$a<b<c$
C．$b<c<a$
D．$c<a<b$
答案：A
解析：因为$a=2^\frac{4}{3}=4^\frac{2}{3}>4^\frac{2}{5}=b,c=25^\frac{1}{3}=5^\frac{2}{3}>4^\frac{2}{3}=a$，所以$b<a<c$，故先A。
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