一、指数函数的定义域和底数对图象的影响
1、指数函数$y=a^x$
（1）当$0<a<1$时
①定义域为$\mathbf{R}$；
②值域为$（0,+∞）$；
③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；
在$\mathbf{R}$上是减函数；当$x>0$时，$0<y<1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$y>1$。
（2）当$a>1$时
①定义域为$\mathbf{R}$；
②值域为$（0,+∞）$；
③性质：恒过定点$（0,1）$，即$x=0$时，$y=1$；
在$\mathbf{R}$上是增函数；当$x>0$时，$y>1$；当$x=0$时，$y=1$；当$x<0$时，$0<y<1$。
2、底数对图象的影响
（1）由指数函数$y=a^x$与直线$x=1$相交于点$(1，a)$可知：在$y$轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大。
（2）由指数函数$y=a^x$与直线$x=-1$相交于点$\left(-1，\frac{1}{a}\right)$可知：在$y$轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小。
（3）指数函数的底数与图象间的关系可概括的记忆为：在$y$轴右边“底大图高”；在$y$轴左边“底大图低”。
3、指数函数具有反函数，其反函数是对数函数。
二、指数函数的定义域的相关例题
指数函数$f(x)=a^2(a>0,$且$a≠1)$在$\mathbf{R}$上是减函数，则函数$g(x)=\frac{a-2}{x^2}$在其定义域上的单调性为___
A．单调递增
B．单调递减
C．在$(0,+∞)$上递增，在$(-∞,0)$上递减
D．在$(0,+∞)$上递减，在$(-∞,0)$上递增
答案：C
解析：结合指数函数的性质可知：$0<a<1$，函数$g(x)$的导函数：$g′(x)=\frac{-2(a-2)}{x^3}$，当$x∈(-∞,0)$时，$g′(x)<0$，函数$g(x)$单调递减，当$x∈(0,+∞)$时，$g′(x)>0$，函数$g(x)$单调递增，故选C。
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