一、球的体积和定义
1、定义:球的表面积是指球面所围成的几何体的面积,它包括球面和球面所围成的空间。
2、球的表面积公式
设球的半径为$R$,球的表面积由半径$R$唯一确定,所以它的表面积$S$是以$R$为自变量的函数,即$S_球=4πR^2$。
3、球的体积公式
$V_球=\frac{4}{3}πR^3$($R$为球的半径)。
4、球的截面圆的性质
(1)用一个平面去截球体,截面一定是圆面。
(2)球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。
(3)设小圆的圆心为$O_1$,半径为$r$,大圆的圆心(球的球心)为$O$,半径为$R$,则有:
①$OO_1$垂直于平面$⊙O_1$。
②$R^2=r^2+d^2$,其中$d$为两圆的圆心距。
二、球的体积的相关例题
棱长为2的正方体的顶点都在一个球的球面上,则该球的体积为___
A.$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$
B.$\frac{64\sqrt{2}π}{3}$
C.$4\sqrt{3}π$
D.$32\sqrt{3}π$
答案:C
解析:正方体的体对角线长为$\sqrt{2^2+2^2+2^2}$=2$\sqrt{3}$,设球的半径为$R$,则2$R$=$2\sqrt{3}$,$R=\sqrt{3}$,所以球的体积为$\frac{4π}{3}$×$R^3$=$\frac{4π}{3}$×$(\sqrt{3})^3$=$4\sqrt{3}π$。故选:C。
3.导数的定义式