球的表面积和体积

一、球的表面积和体积

1、定义：球的表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间。

2、球的表面积公式

设球的半径为$R$，球的表面积由半径$R$唯一确定，所以它的表面积$S$是以$R$为自变量的函数，即$S_球=4πR^2$。

3、球的体积公式

$V_球=\frac{4}{3}πR^3$（$R$为球的半径）。

4、球的截面圆的性质

（1）用一个平面去截球体，截面一定是圆面。

（2）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。

（3）设小圆的圆心为$O_1$，半径为$r$，大圆的圆心（球的球心）为$O$，半径为$R$，则有：

①$OO_1$垂直于平面$⊙O_1$。

②$R^2=r^2+d^2$，其中$d$为两圆的圆心距。

二、球的表面积的相关例题

一个球的内接正方体的表面积为54，则球的表面积为____

A．27$π$

B．18$π$

C．9$π$

D．54$π$

答案：A

解析：设正方体的棱长为$a$，球的半径为$r$，则6$a^2$=54，所以$a$=3。又因为$(2r)^2=a^2+a^2+a^2$，$2r=\sqrt{3}a$，所以$r=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，所以$S=4πr^2$=$4π$×$\frac{27}{4}$=27$π$。故选：A。

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