球的表面积和体积

文/流浪汉

一、球的表面积和体积

1、定义:球的表面积是指球面所围成的几何体的面积,它包括球面和球面所围成的空间。

2、球的表面积公式

设球的半径为$R$,球的表面积由半径$R$唯一确定,所以它的表面积$S$是以$R$为自变量的函数,即$S_球=4πR^2$。

3、球的体积公式

$V_球=\frac{4}{3}πR^3$($R$为球的半径)。

4、球的截面圆的性质

(1)用一个平面去截球体,截面一定是圆面。

(2)球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。

(3)设小圆的圆心为$O_1$,半径为$r$,大圆的圆心(球的球心)为$O$,半径为$R$,则有:

①$OO_1$垂直于平面$⊙O_1$。

②$R^2=r^2+d^2$,其中$d$为两圆的圆心距。

二、球的表面积的相关例题

一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为____

A.27$π$

B.18$π$

C.9$π$

D.54$π$

答案:A

解析:设正方体的棱长为$a$,球的半径为$r$,则6$a^2$=54,所以$a$=3。又因为$(2r)^2=a^2+a^2+a^2$,$2r=\sqrt{3}a$,所以$r=\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{3\sqrt{3}}{2}$,所以$S=4πr^2$=$4π$×$\frac{27}{4}$=27$π$。故选:A。

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