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取整函数的定义和性质

2021-03-01

文/枯心人

一、取整函数的定义和性质

1、取整函数

函数$y=\left[ x \right]$称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数$x$的最大整数称为$x$的整数部分，记作$\left[ x \right]$。该函数被广泛应用于数论，函数绘图和计算机领域。

记对应法则为$f：x\mapsto$不超过$x$的最大整数。

显然，$f$是定义在全体实数集$\mathbf{R}$的函数，而函数值是离散的，这个函数即为取整函数。为了方便，用$\left[ x \right]$表示不超过$x$的最大整数，所以函数$f$又可记为$y=f(x)=\left[ x \right]$，$x∈\mathbf{R}$。一般有$\left[ x \right]\leqslant x<\left[ x \right]+1$。

2、取整函数的性质

性质1：对任意$x∈\mathbf{R}$，均有$x-1<\left[ x \right]\leqslant x<\left[ x \right]+1$。

性质2：对任意$x∈\mathbf{R}$，$y=\left[ x \right]$的值域为$\mathbf{Z}$。

性质3：取整函数(高斯函数）是一个不减函数，即$\forall x_1，x_2∈\mathbf{R}$，$x_1<x_2\Rightarrow\left[x_1\right]\leqslant \left[ x_2 \right]$。

性质4：若$n∈\mathbf{Z}，x∈\mathbf{R}$，则有$\left[ x+n \right]$=$n+\left[ x \right]$，$\{x+n\}$=$\{ x\}$，后一式子表明$y=\{x\}$是一个以任意非零整数为周期的周期函数。

性质5：若$x，y∈\mathbf{R}$，则有$\left[ x \right]$+$\left[ y \right]\leqslant$$\left[ x+y \right]$$\leqslant$$\left[ x \right]$+$\left[ y \right]$+1。

性质6：若$n∈\mathbf{N^+}$，$x∈\mathbf{R}$，则$\left[ nx \right]$$\geqslant$$n\left[ x \right]$。

性质7：若$n∈\mathbf{N^+}$，$x$> 1，则在区间$\left[ 1,x \right]$内恰好有$\left[ \frac{x}{n} \right]$个整数是$n$的倍数。

性质8：设$p$为质数，$n∈\mathbf{N^+}$，则$p$在$n！$的质因数分解式中的幂次为$p(n!)$=$\left[ \frac{n}{p} \right]$+$\left[ \frac{n}{p^2} \right]$+$\cdots$

性质9：厄米特恒等式

$\left[ x \right]$+$\left[ x+\frac{1}{n} \right]$+$\left[ x+ \frac{2}{n}\right]$+$\cdots$+$\left[ x+\frac{n-1}{n} \right]$=$\left[ nx \right]$

$\begin{Bmatrix} x \end{Bmatrix}$+$\begin{Bmatrix} x+\dfrac{1}{n} \end{Bmatrix}$+$\begin{Bmatrix} x+\dfrac{2}{n} \end{Bmatrix}$+$\cdots$+$\begin{Bmatrix} x+\dfrac{n-1}{n} \end{Bmatrix}$=$\begin{Bmatrix} nx \end{Bmatrix}$=$\frac{n-1}{2}$

二、取整函数的相关例题

近代世界三大数学家之一高斯发明了取整函数，设$x∈\mathbf{R}$，用$\left[ x \right]$表示不超过$x$的最大整数，则$y=\left[ x \right]$称为取整函数，例如：$\left[ -3.5 \right]$=-4，$\left[ 2.1 \right]$=2，已知函数$f(x)$=$\frac{3^{x+1}}{1+3^x}-\frac{1}{3}$，则$y=\left[ f(x) \right]$的值域是___

A．$\{0,1\}$

B． $\{-1,1\}$

C．$\{-1,0,1\}$

D．$\{-1,0,1,2\}$

答案：D

解析：$f(x)$=$\frac{3^{x+1}}{1+3^x}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{3(3^x+1)-3}{1+3^x}$-$\frac{1}{3}$

=3-$\frac{3}{1+3^x}$-$\frac{1}{3}$ =$\frac{8}{3}$-$\frac{3}{1+3^x}∈$$\left( -\frac{1}{3} ,\frac{8}{3}\right)$。∴当$x∈\left( -\frac{1}{3} ,0\right)$时，$y=\left[ f(x) \right]$=-1；当$x∈\left[0,1\right)$时，$y=\left[ f(x) \right]$=0；当$x∈\left[1,2\right)$时，$y=\left[ f(x) \right]$=1；当$x∈\left[2,\frac{8}{3}\right)$时，$y=\left[ f(x) \right]$=2。∴函数$y=\left[ f(x) \right]$的值域是$\{ -1,0,1,2\}$。故选：D。