

空间向量的坐标和运算

2021-03-01

文/欧卡

一、空间向量的坐标和运算

1、空间直角坐标系

在单位正方体$OABC$-$D$′$A$′$B$′$C$′中，以$O$点为原点，分别以射线$OA$，$OC$，$OD$′的方向为正方向，以线段$OA$，$OC$，$OD$′的长为单位长，建立三条数轴：$x$轴、$y$轴、$z$轴。这时我们说建立了一个空间直角坐标系$Oxyz$，其中点$O$叫做坐标原点，$x$轴、$y$轴、$z$轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为$xOy$平面、$yOz$平面、$xOz$平面。

2、空间向量的坐标

一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

如$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}$=$(x_2-x_1$,$y_2-y_1$,$z_2-z_1)$。

3、空间向量的坐标运算

设$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则

（1）$\boldsymbol a+\boldsymbol b$=$(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$。

（2）$\boldsymbol a-\boldsymbol b$=$(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$。

（3）$\boldsymbol a·\boldsymbol b$=$x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。

（4）$|\boldsymbol a|=\sqrt{x^2_1+y^2_1+z^2_1}$。

（5）$λ\boldsymbol a=（λx_1,λy_1,λz_1）$。

4、空间向量平行（共线）与垂直的充要条件

设非零向量$\boldsymbol a(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol b(x_2,y_2,z_2)$，则

$\boldsymbol a∥\boldsymbol b\Leftrightarrow\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}=\frac{z_1}{z_2}=λ(λ∈\mathbf{R})$。

$\boldsymbol a⊥\boldsymbol b\Leftrightarrow\boldsymbol a·\boldsymbol b =0\Leftrightarrow$ $x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0$。

5、空间中的中点坐标公式、夹角和距离公式

（1）中点坐标公式

在空间直角坐标系中，若$A(x_1,y_1,z_1)$，$B(x_2,y_2,z_2)$，$P$为$AB$的中点，则点$P$的坐标为$\left( \frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2},\frac{z_1+z_2}{2} \right)$。

（2）夹角公式

设非零向量$\boldsymbol a=（a_1,a_2,a_3）$，$\boldsymbol b(b_1,b_2,b_3)$，则$ \cos \left \langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\right \rangle=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{a^2_1+a^2_2+a^2_3}\sqrt{b^2_1+b^2_2+b^2_3}}$。

（3）距离公式

在空间直角坐标系中，已知$A(x_1,y_1,z_1)$,$B(x_2,y_2,z_2)$，则$\left| \overrightarrow{A B}\right|$=$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。

6、空间中点的对称

（1）$P$（$x$，$y$，$z$）关于平面$xOy$的对称点为$P_1(x,y,-z)$。

（2）$P$（$x$，$y$，$z$）关于平面$yOz$的对称点为$P_1(-x,y,z)$。

（3）$P$（$x$，$y$，$z$）关于平面$xOz$的对称点为$P_1(x,-y,z)$。

（4）$P$（$x$，$y$，$z$）关于$x$轴的对称点为$P_1(x,-y,-z)$。

（5）$P$（$x$，$y$，$z$）关于$y$轴的对称点为$P_1(-x,y,-z)$。

（6）$P$（$x$，$y$，$z$）关于$z$轴的对称点为$P_1(-x,-y,z)$。

（7）$P$（$x$，$y$，$z$）关于坐标原点$O$的对称点为$P_1(-x,-y,-z)$。

空间对称问题的记法为：关于谁对称，谁的坐标不变，其他坐标变为原来的相反数；关于原点对称，所有坐标都变为原来的相反数。

二、空间直角坐标系

下列叙述中，正确的个数是___

①空间直角坐标系中，在$x$轴上的点的坐标可写成$(0，b，c)$的形式;

②空间直角坐标系中，在$yOz$平面内的点的坐标可写成$(0，b，c)$的形式:

③空间直角坐标系中，在$z$轴上的点的坐标可写成$(0 ，0， c)$的形式;

④空间直角坐标系中，在$xOz$平面内的点的坐标可写成$(a ，0， c)$的形式.

A．1 B．2 C．3

答案：C

解析：①空间直角坐标系中,在$x$轴上的点的坐标可写成$(a，0，0)$的形式，故①错误；②空间直角坐标系中,在$yOz$平面内的点的坐标可写成$(0，b，c)$的形式；故②正确；③空间直角坐标系中,在$z$轴上的点的坐标可写成$(0，0，c)$的形式，故③正确；④空间直角坐标系中，在$xOz$平面内的点的坐标可写成$(a，0，c)$的形式，故④正确。故选C。