函数自变量的取值范围和定义

文/明天爱谁

一、函数自变量的取值范围和定义

1、函数

一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量$x$与$y$,并且对于$x$的每一个确定的值,$y$都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说$x$是自变量,$y$是$x$的函数。

对函数概念的理解主要抓住以下三点:

(1)有两个变量;

(2)一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化;

(3)对于自变量,每一个确定的值,函数有且只有一个值与之对应。

2、函数自变量的取值范围

函数自变量的取值范围是指使函数有意义的自变量的全体。

(1)求自变量的取值范围通常从两个方面考虑:一是要使函数的解析式有意义;二是符合实际意义。

(2)自变量的取值范围可以是无限的,也可以是有限的,还可以是单独一个(或几个)数。在一个函数关系式中,同时有分式、根式等,函数自变量的取值范围应是各个式子中自变量取值范围的公共部分。

3、函数值

如果在自变量取值范围内给定一个值$a$,函数对应的值为$b$,那么$b$叫做当自变量取值为$a$时的函数值。

对函数值的理解

(1)函数是表示两个变量之间的一种关系,函数值是一个数值;

(2)一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的,故在求函数值时,一定要指明自变量为多少。

4、函数的解析式

像$y=50-0.1x$这样,用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法,这种式子叫做函数的解析式。

(1)确定实际问题中的函数解析式与列方程解应用题类似,设$x$是自变量,$y$是$x$的函数,先列出关于$x$,$y$的二元方程,再用含$x$的代数式表示$y$,最后写出自变量$x$的取值范围。

(2)在确定实际问题中的函数解析式时,不要忽略自变量的取值范围。

二、函数自变量的取值范围的相关例题

函数的自变量$x$满足$\frac{1}{3}\leqslant x\leqslant2$时,函数值$y$满足$\frac{2}{3}\leqslant y\leqslant4$,则这个函数可以是___

A.$y=\frac{4}{3x}$ B.$y=\frac{3}{4x}$

C.$y=\frac{3}{2x}$ D.$y=\frac{2}{3x}$

答案:A

解析:A.在$y=\frac{4}{3x}$中,当$x=\frac{1}{3}$时,$y=4$;当$x=2$时,$y=\frac{2}{3}$;符合题意,故A正确;B.在$y=\frac{3}{4x}$中,当$x=\frac{1}{3}$时,$y=\frac{9}{4}$;当$x=2$时,$y=\frac{3}{8}$;不符合题意,故B错误;C.在$y=\frac{3}{2x}$中,当$x=\frac{1}{3}$时,$y=\frac{9}{2}$;当$x=2$时,$y=\frac{3}{4}$;不符合题意,故C错误;D.在$y=\frac{2}{3x}$中,当$x=\frac{1}{3}$时,$y=2$;当$x=2$时,$y=\frac{1}{3}$;不符合题意,故D错误;故选A。

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