实数与向量相乘的定义和运算律

一、实数与向量相乘的定义和运算律

1、向量

既有大小又有方向的量叫向量。以$A$为起点、$B$为终点的向量记作：$\overrightarrow{AB}$或$\boldsymbol a$。

向量的两要素：大小和方向。

2、向量的数乘

（1）定义

一般地，我们规定实数$λ$与向量$\boldsymbol a$的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$λ\boldsymbol a$。它的长度与方向规定如下：

① $|λ\boldsymbol a|=|λ||\boldsymbol a|$。

② 当$λ=0$时，$λ\boldsymbol a=0$；当$λ<0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相反；当$λ>0$时，$λ\boldsymbol a$的方向与$\boldsymbol a$的方向相同。

向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如$λ+\boldsymbol a$，$λ-\boldsymbol a$无意义。

（2）向量数乘的运算律

设$λ$，$μ$为实数，则有：

$λ(μ\boldsymbol a)=(λμ)\boldsymbol a$（结合律）。

$(λ+μ)\boldsymbol a=λ\boldsymbol a+μ\boldsymbol a$（第一分配律）。

$λ(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a+λ\boldsymbol b$（第二分配律）。

特别地，我们有：

$(-λ)\boldsymbol a=-(λ\boldsymbol a)=λ(-\boldsymbol a)$。

$λ(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=λ\boldsymbol a-λ\boldsymbol b$。

（3）向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$以及任意实数$λ$，$μ_1$，$μ_2$，恒有$λ(μ_1\boldsymbol a±μ_2\boldsymbol b)=$$λμ_1\boldsymbol a±λμ_2\boldsymbol b$。

二、实数与向量相乘的相关例题

下列说法正确的是___

A．一个向量与零相乘，乘积为零

B．向量不能与无理数相乘

C．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短

D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反

答案：D

解：A．一个向量与零相乘，乘积为零向量，故本选项错误；B．向量可以与任何实数相乘，故本选项错误；C．非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短，故本选项错误；D．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反，故本选项正确。故答案是D。

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