特殊角的三角函数值和性质

文/孤旅人

一、特殊角的三角函数值和性质

在Rt$△ABC$中,锐角$A$的正弦、余弦和正切都是$∠A$的三角函数。

正弦:$\sin A=\displaystyle{}\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{a}{c}$;

余弦:$\cos A=\displaystyle{}\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{b}{c}$;

正切:$\tan A=\displaystyle{}\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{a}{b}$。

($a$,$b$,$c$为Rt$△ABC$中$∠A$,$∠B$,$∠C$所对的边长)

2、特殊锐角的三角函数值

$\sin 30°=\frac{1}{2}$,$\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

$\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\cos 60°=\frac{{1}}{2}$。

$\tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\tan 45°=1$,$\tan 60°=\sqrt{3}$。

3、锐角三角函数的关系

(1)互余两角的三角函数关系($A$为锐角)

① $\sin A=\cos (90°-A)$,即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值。

② $\cos A=\sin (90°-A)$,即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

(2)同角的三角函数值之间的关系

① $\sin ^2A+\cos ^2A=1$;

② $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$。

4、锐角三角函数的性质

(1)锐角三角函数的取值范围

当$A$为锐角时,0<$\sin A$<1,0<$\cos A$<1,$\tan A$>0。

(2)锐角三角函数的增减性

当角度在0~90°(不包括0°,90°)之间变化时

① 锐角的正弦值随角度的增大而增大。

② 锐角的余弦值随角度的增大而减小。

③ 锐角的正切值随角度的增大而增大。

二、特殊角的三角函数值的相关例题

$\sqrt{2}\cos 30°$的值是___

答案:$\frac{\sqrt{6}}{2}$

解析:$\sqrt{2}\cos 30°=$$\sqrt{2}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}=$$\frac{\sqrt{6}}{2}$。

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