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平面向量的定义和向量的模

2021-03-10

文/爱长发

专题:平面向量定义义和面向向量平面

一、平面向量的定义和向量的模

1、向量

既有大小又有方向的量叫向量。以$A$为起点、$B$为终点的向量记作：$\overrightarrow{AB}$或$\boldsymbol a$。

向量的两要素：大小和方向。

2、向量的模

向量的大小叫做向量的长度（或称模），记作：$|\overrightarrow{AB}|$或$|\boldsymbol a|$。

3、几种特殊的向量

（1）零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作$\mathbf{0}$，其方向是任意的，$|\mathbf{0}|=0$。

规定：$\mathbf{0}$与任一向量平行。

（2）单位向量

长度为1个单位的向量叫做单位向量。

（3）平行向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫共线向量。

向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$平行，通常记作$\boldsymbol a∥b$。

（4）相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$相等，记作$\boldsymbol a=\boldsymbol b$。

① 平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量。

② 相等向量具有传递性，而向量的平行不具有传递性（因为有零向量的存在）。

（5）相反向量

长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$相反，记作$\boldsymbol a=-\boldsymbol b$。同时向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{BA}$是一对相反向量，记作$\overrightarrow{AB}$=$-\overrightarrow{BA}$。

注：① 零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性。

② 任一向量和它的相反向量的和是零向量。零向量的相反向量仍是零向量。

③ 向量既有大小，又有方向，因为方向不能比较大小，所以向量不能比较大小，但向量的模能比较大小。

④ $\displaystyle{}\frac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|}$表示与$\boldsymbol a$同向的单位向量。

二、平面向量的相关例题

已知四边形$ABCD$是矩形，点$O$是对角线$AC$与$BD$的交点，下列四种说法：① 向量$\overrightarrow{AO}$与向量$\overrightarrow{OC}$是相等向量；② 向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OC}$是互为相反向量；③ 向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{CD}$是相等向量；④ 向量$\overrightarrow{BO}$与向量$\overrightarrow{BD}$是平行向量，其中正确的个数为___

A．1 B．2 C．3 D．4

答案：C

解析：∵四边形$ABCD$是矩形，∵$AB=CD$，$AB∥CD$，$OA=OC$，$OB=OD$，① 向量$\overrightarrow{AO}$与向量$\overrightarrow{OC}$是相等向量，正确。② 向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OC}$是互为相反向量，正确。③ 向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{CD}$是相等向量；错误。④ 向量$\overrightarrow{BO}$与向量$\overrightarrow{BD}$是平行向量；正确。故选C。