平行线分线段成比例定理和推论

文/孤旅人

一、平行线分线段成比例定理和推论

1、比例线段

在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段。

已知四条线段$a$,$b$,$c$,$d$,如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么$a$,$b$,$c$,$d$叫做组成比例的项,线段$a$、$d$叫做比例外项,线段$b$、$c$叫做比例内项。

2、比例的基本性质

如果$a∶b=$$c∶d$或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么$ad=bc$,即比例的内项之积与外项之积相等;反之,如果$ad=bc$,那么$a∶b=$$c∶d$或$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$(bd≠0)$。

根据比例的基本性质,由$ad=bc$还可以推出如下比例式($abcd≠0$)

① $\frac{d}{b}=\frac{c}{a}$;② $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$;③ $\frac{d}{c}=\frac{b}{a}$。

3、平行线分线段成比例定理

(1)定理

两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。

(2)推论

平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例。

如:在$△ABC$中,$AB$边上有一点$D$,$AC$边上有一点$E$,且$DE∥BC$,则有$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$,$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$,$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}$。

二、平行线分线段成比例定理的相关例题

给出下列各组线段,其中成比例线段的是___

A.1cm,2cm,3cm,4cm

B.2cm,3cm,4cm,5cm

C.0.3m,0.6m,0.5m,0.9m

D.1cm,$\sqrt{5}$cm,$2\sqrt{3}$cm,$2\sqrt{15}$cm

答案:D

解析:A.1×4≠2×3,故选项错误;B.2×5≠3×4,故选项错误;C.0.3×0.9≠0.6×0.5,故选项错误;D.$1×2\sqrt{15}=\sqrt{5}×2\sqrt{3}$,故选项正确。故选D。

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