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运用公式法解一元二次方程的步骤

2021-03-10

文/乡村

一、运用公式法解一元二次方程的步骤

1、公式法

解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a≠0$）。当$b^2-$$4ac\geqslant0$时，方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a≠0$）的实数根可写为$x$=$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$的形式，这个式子叫做一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。

2、一元二次方程根的个数与根的判别式的关系

一般地，式子$b^2-$$4ac$叫做方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a$≠0）的根的判别式，通常用希腊字母$\mathit{Δ}$表示，即 $\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac$。

当$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac>0$时，一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a≠0$）有两个不相等的实数根。即$x_1=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=$$\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

当$\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac=0$时，一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a≠0$）有两个相等的实数根。即$x_1$=$x_2$=$-\frac{b}{2a}$。

当 $\mathit{Δ}=$$b^2-$$4ac<0$时，一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a≠0$）无实数根。

3、利用公式法解一元二次方程$ax^2$+$bx$+$c$=0（$a≠0$）的一般步骤

将一元二次方程整理成一般形式。

确定公式中$a$，$b$，$c$的值。

求出$b^2-4ac$的值。

当$b^2-$$4ac\geqslant0$时，将$a$，$b$，$c$的值及$b^2-$$4ac$的值代入求根公式即可；当$b^2-$$4ac<0$时，方程无实数根。

4、一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：

不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况。

根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围。

应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根）。

二、运用公式法的相关例题

用公式法解一元二次方程$x^2-$$\frac{1}{4}=$$2x$，正确的应是___

A．$x$=$\frac{-2±\sqrt{5}}{2}$

B．$x$=$\frac{2±\sqrt{5}}{2}$

C．$x$=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$

D．$x$=$\frac{1±\sqrt{3}}{2}$

答案：B

解析：因为$a=1$，$b=-2$，$c=-\frac{1}{4}$，所以$b^2-$$4ac=$$(-2)^2-$$4×$$1\left(-\frac{1}{4}\right)=$$5>0$，代入公式$x=$$\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$求解得$x=$$\frac{2±\sqrt{5}}{2}$，故选B。