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十字相乘法等的定义和原理

2021-03-11

文/海中的鲨鱼

一、十字相乘法等的定义和原理

1、十字相乘法

十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别是：（1）提公因式法（2）公式法（3）双十字相乘法（4）轮换对称法（5）拆添项法（6）配方法（7）因式定理法（8）换元法（9）综合除法（10）主元法（11）特殊值法（12）待定系数法（13）二次多项式。

2、原理

十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。

十字相乘法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是在整数范围内）。对于像$ax^²$+$bx$+$c$=（$a_1x$+$c_1$）（$a_2x$+$c_2$）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数$a$分解成两个因数$a_1$，$a_2$的积，把常数项$c$分解成两个因数$c_1$，$c_2$的积，并使$a_1c_2$+$a_2c_1$正好等于一次项的系数$b$。那么可以直接写成结果：$ax^²$+$bx$+$c$=（$a_1x$+$c_1$）（$a_2x$+$c_2$）。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：$x^²+$（$p$+$q$）$x+$$pq=$（$x+p$）（$x+q$）。

3、判定

对于形如$ax^²$+$bx$+$c$的多项式，在判定它能否使用十字相乘法分解因式时，可以使用$\mathit{Δ}$=$b^²-4ac$进行判定。当$\mathit{Δ}$为完全平方数时，可以在整数范围对该多项式进行十字相乘。

二、十字相乘法等的相关例题

一元二次方程$x^2-x-2=0$的解是___

A．$x_1=1$，$x_2=2$

B．$x_1=1$，$x_2=-2$

C．$x_1=-1$，$x_2=-2$

D．$x_1=-1$，$x_2=2$

答案：D

解析：因式分解得：$(x-2)$$(x+1)=0$，解得：$x_1=-1$，$x_2=2$。故选D。