三角形的高和角平分线

一、三角形的高和角平分线

1、三角形

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

在$△ABC$中，线段$AB$，$BC$，$CA$是三角形的边。

点$A$，$B$，$C$是三角形的顶点，

$∠A$，$∠B$，$∠C$是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的高

定义：从三角形的一个顶点向它所对的边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

几何表达：在$△ABC$中，$AD$是$△ABC$的边$BC$上的高或$AD$⊥$BC$于$D$或$∠ADB$=$∠ADC$=90°。

注：（1）三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线。

（2）三角形的三条高交于一点，交点叫做三角形的垂心。

（3）锐角三角形的三条高在其内部，三条高的交点在三角形内部；直角三角形的两条直角边互为高，三条高的交点在直角顶点处；钝角三角形有两条高在三角形的外部，三条高的延长线的交点在三角形的外部。

3、三角形的中线

定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线。

几何表达：在$△ABC$中，$AD$是$△ABC$的边$BC$上的中线或$BD$=$DC$=$\frac{1}{2}$$BC$或$BC$=2$BD$=2$DC$或$D$为$BC$的中点。

注：（1）三角形的中线是一条线段。

（2）三角形的三条中线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫做三角形的重心。

（3）三角形的一条中线将这个三角形分成面积相等的两个三角形。

（4）$△ABC$的中线$AD$也可称为“$BC$边上的中线$AD$”。

4、三角形的角平分线

定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

几何表达：在$△ABC$中，$AD$是$△ABC$的角平分线或$∠BAD$=$∠CAD$=$\frac{1}{2}$$∠BAC$。

注：（1）三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。

（2）三角形的角平分线的画法与角的平分线的画法相同。

（3）三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且交于一点，交点叫做三角形的内心。

二、三角形的高的相关例题

下列命题中正确的是___

A．三角形的高线都在三角形内部

B．直角三角形的高只有一条

C．钝角三角形的高都在三角形外

D．三角形至少有一条高在三角形内

答案：D

解析：A．只有锐角三角形的高线都在三角形内部,故本选项错误；B．直角三角形的两条直角边也是直角三角形的高线，其次直角三角形斜边上也有高，所以直角三角形有三条高，故本选项错误；C．钝角三角形中钝角所对的边上的高在三角形的内部，故本选项错误；D．三角形至少有一条高在三角形内，正确。故选D。

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