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勾股定理的证明方法和应用

2021-03-11

文/凯哥

专题:勾股定理证明方法应用定理勾股

一、勾股定理的证明方法和应用

1、勾股定理

（1）文字语言

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）符号语言

如果直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，那么$a^2+$$b^2=$$c^2$。

（3）变式及应用

设直角三角形的两条直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，则

$a^2=c^2-b^2$，$b^2=c^2-a^2$，

$c=\sqrt{a^2+b^2}$，$a=\sqrt{c^2-b^2}$，$b=\sqrt{c^2-a^2}$。

2、勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法有很多种，下面列出其中一种证明方法：

在Rt$△ABC$中，设直角边$AC$、$BC$的长度分别为$a$、$b$，斜边$AB$的长为$c$，过点$C$作$CD⊥AB$，垂足是$D$。在$△ADC$和$△ACB$中，∵$∠ADC=∠ACB=90°$，$∠CAD=∠BAC$，∴$△ADC∽△ACB$。$AD∶AC=AC∶AB$，即$AC^2=AD·AB$。同理可证，$△CDB∽△ACB$，从而有$BC^2=BD·AB$。∴$AC^2+BC^2=$$(AD+DB)·$$AB=AB^2$，即$a^2+b^2=c^2$。

二、勾股定理的证明方法的相关例题

下列各组数中，满足勾股定理的是___

A．$3^2$，$4^2$，$5^2$

B．$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，$\sqrt{5}$

C．$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$

D．9，40，41

答案：D

解析：解：A．$(3^2)^2+$$(4^2)^2≠$$(5^2)^2$，即$3^2$，$4^2$，$5^2$不满足勾股定理，故本选项不符合题意；B．$(\sqrt{3})^2+$$(\sqrt{4})^2≠$$(\sqrt{5})^2$，即$\sqrt{3}$，$\sqrt{4}$，$\sqrt{5}$不满足勾股定理，故本选项不符合题意； C．$\left(\frac{1}{3}\right)^2+$$\left(\frac{1}{4}\right)^2≠$$\left(\frac{1}{5}\right)^2$，即$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$不满足勾股定理，故本选项不符合题意；D．$9^2+$$40^2=$$41^2$，即9，40，41满足勾股定理，故本选项符合题意。故选D。