二次函数的三种形式和顶点式

一、二次函数的三种形式和顶点式

1、二次函数

一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的函数，叫做二次函数。其中，$x$是自变量，$a$，$b$，$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意：① 二次函数中自变量的最高次数必须是2，也就是说在$y=ax^2+bx+c$中，$a≠0$，而$b$，$c$可以为0。② 含自变量的代数式是整式，而不是分式或根式。

2、二次函数的一般形式

（1）任何一个二次函数的解析式都可以化成$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）的形式，因此，把$y=ax^2+bx+c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a≠0$）叫做二次函数的一般形式。

（2）二次函数一般形式的结构特征：① 函数的关系式是整式；② 自变量的最高次数是2；③ 二次项系数不等于零。

3、二次函数的顶点式

由于从$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$中可直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$叫做二次函数的顶点式。

顶点式的特点：$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$的图象的顶点坐标为$(h,k)$，对称轴为直线$x=h$。

4、二次函数的交点式

由于从$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$中可直接看出抛物线与$x$轴的两个交点的坐标$(x_1,0)$，$(x_2,0)$，所以通常把$y=$$a(x-x_1)$$(x-x_2)$$(a≠0)$叫做二次函数的交点式。

注：①一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化。

② 顶点式、交点式化为一般式,主要运用去括号、合并同类项等方法。

③ 一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法。

二、二次函数的三种形式的相关例题

二次函数$y=x^2-4x+3$化为$y=a(x+n)^2+k$的形式为___

A．$y=(x-2)^2-1$

B．$y=(x+2)^2-1$

C．$y=(x+2)^2+1$

D．$y=(x+2)^2+3$

答案：A

解析：$y=x^2-$$4x+$$3=$$x^2-$$4x+$$4-4+$$3=$$(x-2)^2-$$1$，故选A。

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