二次函数的三种形式和顶点式

文/公主

一、二次函数的三种形式和顶点式

1、二次函数

一般地,形如$y=ax^2+bx+c$($a$,$b$,$c$是常数,$a≠0$)的函数,叫做二次函数。其中,$x$是自变量,$a$,$b$,$c$分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意:① 二次函数中自变量的最高次数必须是2,也就是说在$y=ax^2+bx+c$中,$a≠0$,而$b$,$c$可以为0。② 含自变量的代数式是整式,而不是分式或根式。

2、二次函数的一般形式

(1)任何一个二次函数的解析式都可以化成$y=ax^2+bx+c$($a$,$b$,$c$是常数,$a≠0$)的形式,因此,把$y=ax^2+bx+c$($a$,$b$,$c$是常数,$a≠0$)叫做二次函数的一般形式。

(2)二次函数一般形式的结构特征:① 函数的关系式是整式;② 自变量的最高次数是2;③ 二次项系数不等于零。

3、二次函数的顶点式

由于从$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$中可直接看出抛物线的顶点坐标,所以通常把$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$叫做二次函数的顶点式。

顶点式的特点:$y=$$a(x-h)^2+$$k(a≠0)$的图象的顶点坐标为$(h,k)$,对称轴为直线$x=h$。

4、二次函数的交点式

由于从$y=a(x-x_1)(x-x_2)(a≠0)$中可直接看出抛物线与$x$轴的两个交点的坐标$(x_1,0)$,$(x_2,0)$,所以通常把$y=$$a(x-x_1)$$(x-x_2)$$(a≠0)$叫做二次函数的交点式。

注:①一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达式,它们之间可以互相转化。

② 顶点式、交点式化为一般式,主要运用去括号、合并同类项等方法。

③ 一般式化为顶点式、交点式,主要运用配方法、因式分解等方法。

二、二次函数的三种形式的相关例题

二次函数$y=x^2-4x+3$化为$y=a(x+n)^2+k$的形式为___

A.$y=(x-2)^2-1$

B.$y=(x+2)^2-1$

C.$y=(x+2)^2+1$

D.$y=(x+2)^2+3$

答案:A

解析:$y=x^2-$$4x+$$3=$$x^2-$$4x+$$4-4+$$3=$$(x-2)^2-$$1$,故选A。

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