垂径定理的定义和推论

文/鏉庡潖

一、垂径定理的定义和推论

1、垂径定理

垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。

推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。

2、圆的对称性

圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。圆有无数条对称轴。

圆也是中心对称图形,圆心是它的对称中心。

圆还具有旋转不变性。

3、直线和圆的位置关系

设圆的半径为$r$,圆心到直线的距离为$d$。

(1)相交:直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。此时公共点数为2,$d<r$。

(2)相切:直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。此时公共点数为1,$d=r$。

(3)相离:直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离。此时公共点数为0,$d>r$。

二、垂径定理的相关例题

下列说法中,正确的是___

A.在同圆内,平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B.在同圆内,平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C.在同圆内,弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心

D.在同圆内,平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

答案:D

解析:A.两条直径互相平分,但不一定垂直,故本选项错误;B.平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦,故本选项错误;C.弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心,故本选项错误;D.在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心,故本选项正确。故选D。

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