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比例的性质和比例中项

2021-03-11

文/心如水

一、比例的性质和比例中项

1、比例的性质

（1）基本性质：如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$ad=bc$。

（2）合比性质：如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么$\frac{a±b}{b}=\frac{c±d}{d}$。

（3）等比性质：若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\cdots=\frac{m}{n}$$(b+d+$$\cdots+$$n≠0)$，则$\frac{a+c+\cdots+m}{b+d+\cdots+n}=\frac{a}{b}$。

2、比例中项

如果$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$，即$b^2=ac$，那么就把$b$叫做$a$，$c$的比例中项。

3、比例线段

对于四条线段$a$，$b$，$c$，$d$，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$（即$ad=bc$），我们就说这四条线段成比例。

二、比例的性质的相关例题

已知在矩形$ABCD$中，$AB=1$，在$BC$上取一点$E$，沿$AE$将$△ABE$向上折叠，使$B$点落在$AD$上的$F$点，若四边形$EFDC$与矩形$ABCD$相似，则$AD=$___

A．$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

B．$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

C．$\sqrt{3}$

D．2

答案：B

解析：易知四边形$EFDC$也是矩形。设$AD=x$，则$DF=x-1$，由矩形$EFDC$与矩形$ABCD$相似得$x∶1=$$1∶(x-1)$，即$x^2-x-1=0$，解得$x_1=$$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，$x_2=$$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，经检验$x_1$，$x_2$都是所列方程的根，但$x_2=$$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$<0$，不合题意，∴$AD=$$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。