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根的判别式的定义和应用

2021-03-11

文/鸥迹

一、根的判别式的定义和应用

1、根的判别式

一般地，式子$b^2-4ac$叫做方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的判别式。通常用希腊字母$\mathit{Δ}$表示，即 $\mathit{Δ}=$$b^2-4ac$。

（1）当 $\mathit{Δ}=b^2-4ac>0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=0$（$a≠0$）有两个不相等的实数根。即$x_1=$$\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

（2）当 $\mathit{Δ}=b^2-4ac=0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=0$（$a≠0$）有两个相等的实数根。即$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$。

（3）当$\mathit{Δ}=b^2-4ac<0$时，一元二次方程$ax^2+$$bx+$$c=0$（$a≠0$）无实数根。

2、一元二次方程根的判别式的应用

一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况

（1）不解方程，由根的判别式的正负性及是否为0可直接判定根的情况。

（2）根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围。

（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两个不相等实根、有两个相等实根）。

二、根的判别式的相关例题

已知$x_1$，$x_2$是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的两个实数根，则$x_1·x_2$等于___

A．$-4$ B．$-1$ C．1 D．4

答案：C

解析：直接根据根与系数的关系求解得$x_1·x_2=\frac{c}{a}=1$。

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