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二次根式的性质和化简

2021-03-12

文/南瓜

专题:根式性质二次

一、二次根式的性质和化简

1、二次根式的性质

（1）$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a>0),\\0(a=0),\\-a(a<0);\end{cases}$

（2）$\sqrt{a}\geqslant0(a\geqslant0)$；

（3）$(\sqrt{a})^2=a(a\geqslant0)$。

2、$\sqrt{a^2}$与$(\sqrt{a})^2$的区别与联系

区别

$\sqrt{a^2}$表示$a^2$的算术平方根，$(\sqrt{a})^2$表示$a(a\geqslant0)$的算术平方根的平方。

$\sqrt{a^2}$中$a$可以为任意实数，$(\sqrt{a})^2$中的$a\geqslant0$。

$\sqrt{a^2}=|a|$，$(\sqrt{a})^2=a$。

联系

当$a$为非负数时，两者的结果是一样的。

3、代数式

用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。如$a+b$，$-ab$，$\frac{s}{t}$，$-x^3$，$\sqrt{3}$，$\sqrt{a}$$(a\geqslant0)$等都是代数式。

4、二次根式的化简

性质$\sqrt{ab}=$$\sqrt{a}·\sqrt{b}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$是二次根式计算或化简的重要依据，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开方开得尽，可以利用积的算术平方根的性质及公式$\sqrt{a^2}=a$$(a\geqslant0)$，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简。

5、二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算。

（2）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算。所以，运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握（1）二次根式的混合运算包括二次根式的加、减、乘、除、乘方、开方运算。

（3）二次根式的混合运算实质上就是实数的混合运算和无理式的混合运算。所以，运算顺序与有理式的运算顺序相同；运算律仍然适用；与多项式的乘法和因式分解类似，可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算；对于分母含有二次根式的代数式，要掌握有理化的方法，化分母为整式，如$\frac{1}{\sqrt{a}}=$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}·\sqrt{a}}=$$\frac{\sqrt{a}}{a}$，$\frac{1}{a+\sqrt{b}}=$$\frac{a-\sqrt{b}}{(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})}=$$\frac{a-\sqrt{b}}{a^2-b}$。

二、二次根式的性质的相关例题

下列判断正确的是___

A．带根号的式子一定是二次根式

B．式子$\sqrt{x^2+1}$一定是二次根式

C．式子$\sqrt[3]{7}$是二次根式

D．二次根式的值必是小数

答案：B

解析：A．若被开方数是负数，此时不是二次根式，故A错误；C．$\sqrt[3]{7}$是三次根式，故C错误；D．$\sqrt{4}=2$，此时不是小数，故D错误；故选B。