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二次根式的乘除法和法则

2021-03-12

文/蓝馨瑶

一、二次根式的乘除法和法则

1、二次根式的化简

性质$\sqrt{ab}=$$\sqrt{a}·\sqrt{b}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$是二次根式计算或化简的重要依据，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开方开得尽，可以利用积的算术平方根的性质及公式$\sqrt{a^2}=a$$(a\geqslant0)$，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简。

2、二次根式的性质

（1）$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a>0),\\0(a=0),\\-a(a<0);\end{cases}$

（2）$\sqrt{a}\geqslant0(a\geqslant0)$；

（3）$(\sqrt{a})^2=a(a\geqslant0)$。

3、二次根式的乘法法则

$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$。即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。反过来即得到$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$$(a\geqslant0,b\geqslant0)$，利用它可以进行二次根式的化简。

4、二次根式的除法法则

（1）$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$。即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。反过来即得到$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$(a\geqslant0,b>0)$，利用它可以进行二次根式的化简。

（2）分母有理化

在二次根式的运算中，最后结果一般要求分母中不含二次根式。把分母中的根号化去的过程称为分母有理化，具体做法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}·\sqrt{b}}{\sqrt{b}·\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$$(a\geqslant0,b>0)$；

也可通过类似分式中的“约分”进行分母有理化，如$\frac{ab}{\sqrt{b}}=$$\frac{a(\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}}=$$a\sqrt{b}$$(b>0)$。

二、二次根式的乘除法的相关例题

下列二次根式中，与$\sqrt{3}$相乘结果为无理数的是___

A．$\sqrt{48}$ B．$-\sqrt{27}$ C．$\sqrt{\frac{4}{3}}$ D．$\sqrt{18}$

答案：D

解析：A．$\sqrt{48}×\sqrt{3}=4\sqrt{3}×\sqrt{3}=12$，结果是有理数，不符合题意；B．$-\sqrt{27}×\sqrt{3}=-3\sqrt{3}×\sqrt{3}=-9$，结果是有理数，不符合题意；C．$\sqrt{\frac{4}{3}}×\sqrt{3}=\sqrt{\frac{4}{3}×3}=2$，结果是有理数，不符合题意；D．$\sqrt{18}×\sqrt{3}=3\sqrt{2}×\sqrt{3}=3\sqrt{6}$，结果是无理数，符合题意，故选D。