最简二次根式和二次根式的性质

文/李杨

一、最简二次根式和二次根式的性质

1、二次根式的概念

一般地,我们把形如$\sqrt{a}$$(a\geqslant0)$的式子叫做二次根式,“$\sqrt{\ \ \ }$ ”称为二次根号。

二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于0。

2、二次根式的性质

(1)$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a(a>0),\\0(a=0),\\-a(a<0);\end{cases}$

(2)$\sqrt{a}\geqslant0(a\geqslant0)$;

(3)$(\sqrt{a})^2=a(a\geqslant0)$。

3、最简二次根式

(1)被开方数不含分母。

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

满足以上两个条件的二次根式叫做最简二次根式。

4、二次根式的化简

性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$($a\geqslant0$,$b\geqslant0$)和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$($a\geqslant0$,$b>0$)是二次根式计算或化简的重要依据,如果一个二次根式的被开方数中有的因式(或因数)能开方开得尽,可以利用积的算术平方根的性质及公式$\sqrt{a^2}=a(a\geqslant0)$,将这些因式(或因数)开出来,从而将二次根式化简。

二、最简二次根式的相关例题

若最简二次根式$\sqrt{x+3}$与最简二次根式$\sqrt{2x}$是同类二次根式,则$x$的值为___

A.$x=0$

B.$x=1$

C.$x=2$

D.$x=3$

答案:D

解析:∵最简二次根式$\sqrt{x+3}$与$\sqrt{2x}$是同类二次根式,∴$x+3=2x$,解得:$x=3$,故选D。

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