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圆幂定理和点对圆的幂

2021-03-12

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专题:圆幂定理点对圆的定理

一、圆幂定理和点对圆的幂

1、圆幂定理

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理以及它们推论的统一与归纳。

（1）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（2）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

（3）割线定理：从圆外一点$P$引两条割线与圆分别交于$A$、$B$；$C$、$D$，则有$PA·PB=$$PC·PD$。

从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

2、点对圆的幂

（1）$P$点对圆$O$的幂定义为$OP^2-R^2$（$R$为圆的半径）。

（2）性质

点$P$对圆$O$的幂的值和点$P$与圆$O$的位置关系有下述关系：

点$P$在圆$O$内→$P$对圆$O$的幂为负数；

点$P$在圆$O$外→$P$对圆$O$的幂为正数；

点$P$在圆$O$上→$P$对圆$O$的幂为0。

以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。

有时，点$P$对圆$O$的幂表示为$|OP^2-R^2|$，但通常来说，幂是有正负零之分的。

二、圆幂定理的相关例题

在梯形$ABCD$中，$AB∥CD$，$⊙O$为内切圆，$E$为$AD$边上的切点，若$AO=$8 cm，$DO=$6cm，则$OE$的长为___

A．3.2 B．4.3 C．4.8 D．5.2

答案：C

解析：∵$AB∥CD$，∴$∠BAD+∠ADC=$180。∵$⊙O$内切于梯形$ABCD$，∴$AO$平分$∠BAD$，有$∠DAO=\frac{1}{2}∠BAD$，又$DO$平分$∠ADC$，有$∠ADO=\frac{1}{2}∠ADC$。∴$∠DAO+∠ADO=$$\frac{1}{2}(∠BAD+∠ADC)=$90°，∴$∠AOD=$$180°-$$(∠DAO+∠ADO)$= 90°。∵在Rt$△AOD$中，$AO=$8 cm，$DO=$6 cm，∴由勾股定理，得$\sqrt{AO^2+DO^2}=$10 cm。∵$E$为切点，∴$OE⊥AD$，有$∠AEO=$90°，∴$∠AEO=∠AOD$。又$∠OAD$为公共角，∴$△AEO∽△AOD$。∴$\frac{OE}{OD}=\frac{AO}{AD}$，∴$OE=\frac{AO·OD}{AD}=4.8$ cm。