圆幂定理和点对圆的幂

文/原来你还在这里

一、圆幂定理和点对圆的幂

1、圆幂定理

圆幂定理是一个总结性的定理,是对相交弦定理、切割线定理及割线定理以及它们推论的统一与归纳。

(1)相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。

(2)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

(3)割线定理:从圆外一点$P$引两条割线与圆分别交于$A$、$B$;$C$、$D$,则有$PA·PB=$$PC·PD$。

从上述定理可以看出,两条线的位置从内到外,都有着相似的结论。经过总结和归纳,便得出了圆幂定理。

2、点对圆的幂

(1)$P$点对圆$O$的幂定义为$OP^2-R^2$($R$为圆的半径)。

(2)性质

点$P$对圆$O$的幂的值和点$P$与圆$O$的位置关系有下述关系:

点$P$在圆$O$内→$P$对圆$O$的幂为负数;

点$P$在圆$O$外→$P$对圆$O$的幂为正数;

点$P$在圆$O$上→$P$对圆$O$的幂为0。

以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对圆的幂的符号,还可以逆向应用,通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。

有时,点$P$对圆$O$的幂表示为$|OP^2-R^2|$,但通常来说,幂是有正负零之分的。

二、圆幂定理的相关例题

在梯形$ABCD$中,$AB∥CD$,$⊙O$为内切圆,$E$为$AD$边上的切点,若$AO=$8 cm,$DO=$6cm,则$OE$的长为___

A.3.2 B.4.3 C.4.8 D.5.2

答案:C

解析:∵$AB∥CD$,∴$∠BAD+∠ADC=$180。∵$⊙O$内切于梯形$ABCD$,∴$AO$平分$∠BAD$,有$∠DAO=\frac{1}{2}∠BAD$,又$DO$平分$∠ADC$,有$∠ADO=\frac{1}{2}∠ADC$。∴$∠DAO+∠ADO=$$\frac{1}{2}(∠BAD+∠ADC)=$90°,∴$∠AOD=$$180°-$$(∠DAO+∠ADO)$= 90°。∵在Rt$△AOD$中,$AO=$8 cm,$DO=$6 cm,∴由勾股定理,得$\sqrt{AO^2+DO^2}=$10 cm。∵$E$为切点,∴$OE⊥AD$,有$∠AEO=$90°,∴$∠AEO=∠AOD$。又$∠OAD$为公共角,∴$△AEO∽△AOD$。∴$\frac{OE}{OD}=\frac{AO}{AD}$,∴$OE=\frac{AO·OD}{AD}=4.8$ cm。

小编推荐

1.保定理工学院有哪些热门专业 推荐的王牌专业

2.2024年保定理工学院录取分数线是多少 各省最低分数线及位次

3.2024保定理工学院在浙江录取分数线 各专业分数及位次

4.2024保定理工学院在内蒙古录取分数线 各专业分数及位次

5.2024保定理工学院在山东录取分数线 各专业分数及位次

6.保定理工学院2025录取分数线整理 最低多少分可以考上

7.2025保定理工学院录取分数线是多少 各省最低分数线汇总

8.2024年保定理工学院热门专业全国排名 有哪些专业比较好

下载文档

猜你喜欢

武大有中外合作办学吗 有前途吗

25-04-28

2025美术艺考生多少分可以报湖南理工职业技术学院

25-04-28

北京外国语大学国际本科读完好就业吗 学费是多少

25-04-28

2025艺考生文化课481分能上上海财经大学吗

25-04-28

2025音乐艺考生多少分可以报长春工业大学

25-04-28

2025艺考多少分能上哈尔滨工业大学 最低分数线是多少

25-04-28

2025舞蹈生文化课411分能上四川大学吗

25-04-28

2025音乐生文化课312分能上泸州职业技术学院吗

25-04-28