2021全国乙卷理科数学真题及答案解析

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学乙卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设2（z+）+3(z-)=4+6i，则z=( ).

A.1-2i

B.1+2i

C.1+i

D.1-i

2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )

A.

B.S

C.T

D.Z

3.已知命题p：x∈R，sinx＜1；命题q：x∈R，≥1，则下列命题中为真命题的是（ ）

A.pq

B.pq

C.pq

D.(pVq)

4.设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是（ ）

A.f(x-1)-1

B.f(x-1)+1

C.f(x+1)-1

D.f(x+1)+1

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）

A.

B.

C.

D.

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）

A.60种

B.120种

C.240种

D.480种

7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin(x-)的图像，则f(x)=（ ）

A.sin()

B. sin()

C. sin()

D. sin()

8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）

A.

B.

C.

D.

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）.

A：

B：

C：

D：

10.设a≠0，若x=a为函数的极大值点，则（ ）.

A：a＜b

B：a＞b

C：ab＜a2

D：ab＞a2

11.设B是椭圆C：（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足，则C的离心率的取值范围是（ ）.

A：

B：

C：

D：

12.设，，，则（ ）.

A：a＜b＜c

B：b＜c＜a

C：b＜a＜c

D：c＜a＜b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线C：（m>0）的一条渐近线为+my=0，则C的焦距为           .

14.已知向量a=（1，3），b=（3，4），若（a-λb）⊥b，则λ=            。

15.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B=60°，a2+c2=3ac，则b=           .

16.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为           （写出符合要求的一组答案即可）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22

（1）    求，， s12，s22；

（2）    判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果-≥，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

18.(12分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，

（1）    求BC；

（2）    求二面角A-PM-B的正弦值。

19.（12分）

记S n为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知=2.

（1）    证明：数列{bn}是等差数列；

（2）    求{an}的通项公式.

20.（12分）

设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。

（1）    求a；

（2）    设函数g（x）=，证明：g（x）＜1.

21.（12 分）

己知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.

（1）求p；

（2）若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求PAB的最大值.

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4一4：坐标系与参数方程］（10分）

在直角坐标系xOy中，C的圆心为C（2，1），半径为1.

（1）写出C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）过点F（4,1）作C的两条切线, 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.

23.[选修4一5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；

（2）若f（x）≥ —a ,求a的取值范围.

2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学乙卷（参考答案）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

1-5 CCABD

6-10 CBBAD

11-12 CB

13.4

14.

15.2

16.②⑤或③④

17.解：（1）各项所求值如下所示

=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0

=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3

=x [(9.7-10.0)2 + 2 x (9.8-10.0)2 + (9.9-10.0)2 + 2 X (10.0-10.0)2 + (10.1-10.0)2+2 x (10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2] = 0.36,

= x [(10.0-10.3)2 +3 x (10.1-10.3)2 +(10.3-10.3)2 +2 x (10.4-10.3)2+2 x (10.5-10.3)2+ (10.6-10.3)2] = 0.4.

(2)由(1)中数据得-=0.3,2≈0.34

显然-＜2，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。

18.解：（1）因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以,,分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。

设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（，1，0），P(0,0,1),所以=（t，1，-1），=（，1，0），

因为PB⊥AM，所以•=-+1=0，所以t=，所以BC=。

（2）设平面APM的一个法向量为m=（x，y，z），由于=（-，0，1），则

令x=，得m=（，1，2）。

设平面PMB的一个法向量为n=（xt，yt，zt），则

令=1，得n=(0,1,1).

所以cos（m，n）===,所以二面角A-PM-B的正弦值为.

19.（1）由已知+=2,则=Sn(n≥2)

+=22bn-1+2=2bnbn-bn-1=(n≥2),b1=

故｛bn｝是以为首项，为公差的等差数列。

（2）由（1）知bn=+（n-1）=,则+=2Sn=

n=1时，a1=S1=

n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=

故an=

20.（1）[xf(x)]′=x′f(x)+xf′(x)

当x=0时，[xf(x)]′=f(0)=lna=0,所以a=1

（2）由f(x)=ln(1-x),得x＜1

当0＜x＜1时，f(x)=ln(1-x)＜0，xf(x)＜0；当x＜0时，f(x)=ln(1-x)＞0，xf(x)＜0

故即证x+f(x)＞xf(x),x+ln(1-x)-xln(1-x)＞0

令1-x=t(t＞0且t≠1)，x=1-t,即证1-t+lnt-(1-t)lnt＞0

令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt,则

f′(t)=-1--[(-1)lnt+]=-1++lnt-=lnt

所以f(t)在（0,1）上单调递减，在（1,+∞）上单调递增，故f(t)＞f（1）=0,得证。

21.解：（1）焦点到的最短距离为，所以p=2.

（2）抛物线，设A(x1,y1）,B(x2,y2),P(x0,y0)，则

,

,且.

,都过点P(x0,y0）,则故，即.

联立，得，.

所以= ，，所以

===.

而.故当y0=-5时，达到最大，最大值为.

22. (1)因为C的圆心为(2,1)，半径为1.故C的参数方程为（为参数).

 (2)设切线y=k（x-4)+1,即kx-y-4k+1=0.故

=1

即|2k|=,4=，解得k=±.故直线方程为y= (x-4)+1, y= (x-4)+1

故两条切线的极坐标方程为sin=cos-+1或sin=cos+ +1.

23.解：(l)a = 1时，f(x) = |x-1|+|x+3|， 即求|x-1|+|x-3|≥ 6 的解集.

当x≥1时，2x十2 ≥6,得x≥ 2;

当-3<x<1时,4≥6此时没有x满足条件；

当x≤-3时-2x-2≥6.得x≤-4，

综上，解集为(-∞,-4]U[2, -∞).

(2) f(x)最小值>-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.

当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|,即|a+3|＞-a.

A≥-3时,2a+3>0，得a>-；a<-3 时,-a-3>-a,此时a不存在.

综上，a>-.