狄利克雷函数为什么是周期函数 如何证明

文/爱长发

取T为任意一个确定的有理数,则当x是有理数时f(x)=1,且x+T是有理数,故f(x+T)=1,即f(x)=f(x+T);当x是无理数时,f(x)=0,且x+T是无理数,故有f(x+T)=0,即f(x)=f(x+T)。综上,狄利克雷函数是周期函数。

狄利克雷函数和周期函数的定义

狄利克雷函数是一个定义在实数范围上、值域不连续的函数。狄利克雷函数的图像以Y轴为对称轴,是一个偶函数,它处处不连续,处处极限不存在,不可黎曼积分。这是一个处处不连续的可测函数。

对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上,任何一个常数kT(k∈Z,且k≠0)都是它的周期。并且周期函数f(x)的周期T是与x无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期。

狄利克雷函数基本性质

1、定义域为整个实数域R。

2、值域为{0,1}。

3、函数为偶函数。

4、无法画出函数图像,但是它的函数图像客观存在。

5、以任意正有理数为其周期,无最小正周期(由实数的连续统理论可知其无最小正周期)。

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