求矩阵的迹要化成上三角吗

文/冷羽轻寒

不需要。对矩阵进行初等变换时,特征值也发生了变化,所以化出来的上三角矩阵的特征值一般不是原矩阵的特征值。在线性代数中,一个n×n矩阵A的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和被称为矩阵A的迹(或迹数),一般记作tr(A)。

求证上三角正规矩阵一定是对角阵

因为阶梯型矩阵的每行的第一个非零元的列号应该是依次递增的。

0 1 0

0 2 0

0 0 1

是上三角矩阵,但不是阶梯型矩阵,因为前两行的非零元的列号都为2

0 0 0

0 1 0

0 0 2

是对角矩阵,但零行在上面的确不一定是

矩阵的迹性质

1.迹是所有主对角元素的和

2.迹是所有特征值的和

3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹

4.tr(mA+nB)=m tr(A)+n tr(B)

(2)奇异值分解(Singular value decomposition )

奇异值分解非常有用,对于矩阵A(p*q),存在U(p*p),V(q*q),B(p*q)(由对角阵与增广行或列组成),满足A = U*B*V

U和V中分别是A的奇异向量,而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U,特征值组成B'B,A'A的特征向量组成V,特征值(与AA'相同)组成BB'。因此,奇异值分解和特征值问题紧密联系。

如果A是复矩阵,B中的奇异值仍然是实数。

SVD提供了一些关于A的信息,例如非零奇异值的数目(B的阶数)和A的阶数相同,一旦阶数确定,那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。

(3)在数值分析中,由于数值计算误差,测量误差,噪声以及病态矩阵,零奇异值通常显示为很小的数目。

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