向量的点乘和叉乘

文/流浪汉

点乘,也叫数量积。结果是一个向量在另一个向量方向上投影的长度,是一个标量。叉乘,也叫向量积。结果是一个和已有两个向量都垂直的向量。

点乘和叉乘的区别

点乘是向量的内积,叉乘是向量的外积。

点乘:点乘的结果是一个实数a·b=|a|·|b|·cos<a,b<a,b表示a,b的夹角

叉乘:叉乘的结果是一个向量

几何意义

点乘的几何意义

可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影。

叉乘的几何意义

在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。

叉乘和点乘的运算法则

点乘

点乘,也叫向量的内积、数量积。顾名思义,求下来的结果是一个数。

向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>

在物理学中,已知力与位移求功,实际上就是求向量F与向量s的内积,即要用点乘。

叉乘

叉乘,也叫向量的外积、向量积。顾名思义,求下来的结果是一个向量,记这个向量为c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>

向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断(用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向)。

因此向量的外积不遵守乘法交换率,因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中,已知力与力臂求力矩,就是向量的外积,即叉乘。

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