线面垂直的判定定理及性质是什么

文/赵乐玮

线面垂直的判定定理:如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直。

线面垂直的性质定理内容

性质定理1:如果一条直线垂直于一个平面,那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2:经过空间内一点,有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3:如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4:垂直于同一平面的两条直线平行。

线面垂直的判定定理

判定定理:如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直。

设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直,则l⊥面S

假设l不垂直于面S,则要么l∥S,要么斜交于S且夹角不等于90。

当l∥S时,则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时,过l任意作一个平面R与S交于m,则由线面平行的性质可知m∥l

∴m⊥AB

又∵l⊥CD

∴m⊥CD

∴AB∥CD,与已知条件矛盾。

当l斜交S时,过交点在S内作一直线n⊥l,则n和l构成一个新的平面T,且T和S斜交(若T⊥S,则n是两平面交线。由面面垂直的性质可知l⊥S,与l斜交S矛盾)。

∵l⊥AB

∴AB∥n

∵l⊥CD

∴CD∥n

∴AB∥CD,与已知条件矛盾。

综上,l⊥S

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