函数的值域定义及理解

一、函数的值域定义及理解

1、定义：函数的值域是在对应关系$f$作用下，自变量$x$在定义域内取值时相应的函数值组成的集合。

2、对函数值域的理解

(1)函数的值域与最值均是在定义域上研究的，闭区间上的连续函数必有最大值和最下值；

(2)函数值域的几何意义是函数图像上点的纵坐标的变化范围。

3、常见函数的值域

(1)一次函数$y=kx+b(k\not=0)$的值域为R；

(2)二次函数$y=ax^2+bx+c(a\not=0)$的值域：

当 $a>0$时，值域为$[\frac{4ac-b^2}{4a},+\infty)$；当 $a<0$时，值域为$(-\infty,\frac{4ac-n^2}{4a}]$

(3)反比例函数$y=\frac{k}{x}(x\not = 0,k \not=0)$的值域为$\{ y \mid y \in R且y\not=0 \}$

二、函数的值域相关例题

求函数$y=3+\sqrt{(2-3x)}$的值域

答案：$[3,+\infty)$

解析：由算数平方根的性质知$\sqrt{(2-3x)\ge0}$，故$3+\sqrt{(2-3x)\ge3}$，所以其值域为$[3,+\infty)$.

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